初中数学竞赛第二十讲数学建模(含解答)

2.某旅行社有客房120间,每间房的日租金为50元,每天都客满.旅行社装修后要提高租金,经市场调查,如果一间客房的日租金每增加5元,则客房每天出租后会减少6间,不考虑其他因素,旅社将每间客房将日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高?比装修前日租金总收入增加多少元?

3.某商场经销一种商品,由于进货时价格比原进价降低了6.4%,使得利润增加了8个百分点,那么经销这种商品原来的利润率是多少?

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A级(答案)

1.(1)y1=0.4x+50,y2=0.6x;

(2)令y1=y2,0.4x+50=0.6x,则x=250;

故每一个月内通话250min,通讯费用相同. (3)全球通合算些.

2.设每间房的日租金提高x个5元,日租金总收入为y,则 y=(50+5x)(120-6x)即y=-30(x-5)2+6 750 当x=5时,ymax=6 750.

∴日租金总收入多6 750-120×50=750(元) 3.17%.

B级

1.某环形道路上顺时针排列着4所中学:A1,A2,A3,A4,它们顺次有彩电15台,8台,5台,12台.为使各校的彩电数相同,允许一些中学向相邻中学调出彩电.问怎样调配才能使调出的彩电台数最小?并求调出彩电的最小总台数.

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2.某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周(按120个工时计算)生产空调器,彩电、冰箱共360台,且冰箱至少生产60台,?已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下: 家电名称 工时 产值(千元) 空调器 彩电 冰箱 1 24 1 33 1 42 问:每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台,才能使产值最高,?最高产值是多少?

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B级(答案)

1. 设A1中学调给A2彩电x1台(若x1<0,则认为是A2,向A1调出│x1│台),A2中学调给A3彩

电x2台,A3调给A4x3台,A4调给A1x4台. 因为共有40台彩电,平均每校10台,?

因此,15-x1+x4=10,8-x2+x1=10,5-x3+x2=10,12-x4+x3=10,得

x4=x1-5,x1=x2+2,x2=x3+5,x3=x4-2,x3=(x1-5)-2=x1-7,x2=(x1-7)+5=x1-2.

本题即求y=│x1│+│x2│+│x3│+│x4│=│x1│+│x1-2│+│x1-7│+│x1-5│的最小值,其中x1是满足-8≤x1≤15的整数.

设x1=x,并考虑定义在-8≤x≤15?上的函数:y=│x│+│x-2│+│x-7│+│x-5│, 当2≤x≤5时,y取最小值10,

即当x1=2,3,4,5时,│x1│+│x1-2│+│x1-7│+│x1-5│取到最小值10. 从而调出彩电的最小台数为10,调配方案有如下4种:

2.设3种家电数量分别为x,y,z台,则各自的工时数、产值数、工时总数、?产值总数如下表所示.

家电名称 台数 工时数 产值(千元) 空调 彩电 冰箱 总数 x y z x+y+z=360(z≥60) 1x 24x 1y 33y 1z 42z 111x+y+z=120 234A=4x+3y+2z ∵x+y+z=360且z≥60 ∴x+y≤300 1111x+y+z=(6x+4y+3z) 234121111 =(x+y+z)+(3x+y)=×360+(3x+y)

4124121 =90+(3x+y)

12工时总数=

总产值数A=4x+3y+2z=2(x+y+z)+(2x+y) =2×360+(2x+y)=720+(2x+y)

?x?y?300,???1?? 由?90?(3x?y)?120,??A=1 080-x≤1 050.

12????A?720?(2x?y)?720?(3x?y)?x.??- 8 -