2020年江苏高考数学（理）一轮复习检测：专题七 导数及其应用(2)

专题七 导数及其应用(2)

一、 填空题

考向一 导数的概念及其运算

1. (2017·全国卷Ⅰ)曲线y=x+在点(1,2)处的切线方程为 .

2. (2017·天津卷)已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则切线l在y轴上的截距为 .

3. (2016·天津卷) 已知函数f(x)=(2x+1)e,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(0)的值为 .

x2

4. (2017·南通、泰州一模)已知两曲线f(x)=2sin x,g(x)=acos x,x∈相交于点P.若两曲线在点P处的切线互相垂直,则实数a的值为 .

5. (2016·全国卷Ⅲ) 已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是 .

考向二 利用导数研究函数的性质

6. (2017·镇江一模)定义在上的函数f(x)=8sinx-tanx的最大值为 .

7. (2017·扬州一模)已知x=1,x=5是函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0)两个相邻的极值点,且f(x)在x=2处的导数f'(2)<0,则f(0)= .

8. (2017·南京、淮安三模)若函数f(x)=e(-x+2x+a)在[a,a+1]上单调递增,则实数a的最大值

x2

为 .

9. (2018·扬州期末)已知函数f(x)=sin x-x+,则关于x的不等式f(1-x)+f(5x-7)<0的解集

2

为 .

10. (2017·常州期末)若函数f(x)=(a∈R)在区间[1,2]上单调递增,则实数a的取值范围是 .

考向三 导数的综合应用

11. (2018·苏北四市一模)在平面直角坐标系xOy中,曲线C:xy=上任意一点P到直线l:x+y=0的距离的最小值为 .

12. (2018·常州一模)已知函数f(x)=bx+lnx,其中b∈R,若过原点且斜率为k的直线与曲线y=f(x)相切,则k-b的值为 .

13. (2016·南京、盐城一模)若函数y=的图象上存在两点P,Q,使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形(其中O为坐标原点),且斜边的中点恰好在y轴上,则实数a的取值范围是 .

14. (2016·南京三模)已知函数f(x)=g(x)=f(x)-b.若存在实数b,使得函数g(x)恰有3个零点,则实数a的取值范围为 .

二、 解答题

15. (2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)=ln x+ax+(2a+1)x. (1) 讨论f(x)的单调性; (2) 当a<0时,求证:f(x)≤--2.

16. (2018·苏北四市期初改编)如图,有一块半圆形空地,开发商计划建一个矩形游泳池ABCD及其矩形附属设施EFGH,并将剩余空地进行绿化,开发商要求游泳池及附属设施的占地面积最大.其中半圆的圆心为O,半径为R,A,B在直径上,C,D,G,H在圆周上,E,F在边CD上,且∠BOG=,设∠BOC=θ. (1) 记游泳池及其附属设施的占地面积为f(θ),求f(θ)的表达式; (2) 怎样设计才能符合开发商的要求?

2

(第16题)

17. (2016·苏北四市摸底改编)已知函数f(x)=cosx+ax-1,a∈R. (1) 求证:函数f(x)是偶函数;

(2) 当a=1时,求函数f(x)在[-π,π]上的最值;

(3) 若对于任意的实数x恒有f(x)≥0,求实数a的取值范围.

18. (2016·山东卷)已知函数f(x)=a(x-lnx)+,a∈R. (1) 讨论f(x)的单调性;

(2) 当a=1时,求证:f(x)>f'(x)+对于任意的x∈[1,2]恒成立.

19. (2017·南通、泰州一模)已知函数f(x)=ax-x-ln x,a∈R. (1) 当a=时,求函数f(x)的最小值;

(2) 若-1≤a≤0,求证:函数f(x)有且只有一个零点; (3) 若函数f(x)有两个零点,求实数a的取值范围.

20. (2018·苏北四市一模)已知函数f(x)=x+ax+1,g(x)=lnx-a(a∈R). (1) 当a=1时,求函数h(x)=f(x)-g(x)的极值;

(2) 若存在与函数f(x),g(x)的图象都相切的直线,求实数a的取值范围.

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