湖北省黄冈市2017学年高二下期末考试数学理试题及答案

因为所以

，

考点：1．独立性检验；2．二项分布． 19. 如图,某段铁路AB长为80公里，

,且

公里，为将货物从A地运往C

地,现在AB上的距点B为x的点M处修一公路至点C.已知铁路运费为每公里2元,公路运费为每公里4元.

（1）将总运费y表示为x的函数. （2）如何选点M才使总运费最小？

【答案】（1）

时的点处修筑公路至时总运费最省． 【解析】试题分析：（1）有已知中铁路往，现在

长为

；（2）当在距离点为公里

，且，为将货物从运

上距点为的点处修一条公路至，已知单位距离的铁路运费为，公路运

费为，我们可以计算公路上的运费和铁路上的运费，进而得到由到的总运费；（2）由（1）中所得的总运费表示为的函数，利用导数法，我们可以分析出函数的单调性，以及憨厚的最小值点，得到答案. 试题解析：（1）依题中，铁路

长为

,且

,将货物从运往,现在

上

的距点为的点处修一公路至,且单位距离的铁路运费为,公路运费为. 铁路

上的运费为

,公路

上的运费为

, .

,令

时,

；当

时,

,解得

,或

（舍）.

则由到的总运费为（2）当故当

；学￥科￥网...

时,取得最小值, 即当在距离点为时的点处修筑公路至时总运费最省.

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数最值的应用.

【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用函数求解函数的极值与最值

问题，本题的解答中，根据题意列出到的总运费为的函数关系式是关键，再利用导数研究函数的单调性及求解函数的极值、最值，着重考查了分析问题和解答问题的能力、以及转化与化归思想的应用，属于中档试题. 20. 已知数列（1）试求出

的前项和为

，且

的表达式；

的表达式。

，并猜想

（2）用数学归纳法证明你的猜想，并求出【答案】（1）

；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）先根据数列的前项的和求得是等差数列进而可猜想出的表达式. 试题解析：（1）解：

，可知分母和分子分别

可直接求出

；（2）利用数学归纳法证明猜想成立，由

`猜想

证明：（1）当假设当

时，

等式成立。

时，等式成立，即

。当，

∴

时，等式也成立。

综上1）2）知，对于任意又

，

都成立。

时，

点睛：本题主要考查了数列的递推式．数列的递推式是高考中常考的题型，涉及数列的通项公式，求和问题，归纳推理与数学归纳法证明等式等问题；数学归纳法的注意事项：①明确初始值

并验证真假； ②“假设

时命题正确”并写出命题形式；③分析“

”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项；④明确等

时”命题是什么，并找出与“

式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并

用上假设. 21. 设函数（1）求（2）当【答案】（1）

的极值；

时，试证明：极大值=

．

；（2）证明见解析．

．

【解析】试题分析：

(1)首先求解导函数，然后利用导函数的性质讨论函数的单调性求解极值即可； (2)构造函数明即可得出结论. 试题解析：

（1）函数

定义域为

，

当所以当（Ⅱ）要证只需证

时，时，

极大值

，利用不等式的特点结合新构造的函数进行证

， =

．函数，只需证

无极小值。 学￥科￥网...

，

…

设，则

由（1）知

即

在

在

单调递减

上是减函数，而

，故原不等式成立

22. 选修44：坐标系与参数方程 在极坐标系中，曲线的方程为的正半轴建立直角坐标系． （1）求直线（2）若直线

的参数方程和曲线的直角坐标方程； 与曲线交于、两点，求

的值．

，点

．以极点为原点，极轴为轴

【答案】（1）（为参数），；（2）.

【解析】试题分析：（1）利用条件，求得直线的参数方程，把曲线的方程为

化为直角坐标方程； （2）联立方程，借助韦达定理，表示目标，得到结果. 试题解析：（1）∵化为直角坐标可得

，

，

∴直线的参数方程为：

∵，

，得：， ．

，

∴曲线的直角坐标方程：∴∴

，

考点：极坐标和参数方程等有关知识的综合运用． 23. 选修45：不等式选讲 设函数

，不等式

的解集是

．

（1）求实数的值； （2）若【答案】（1）

；（2）

对一切．

恒成立，求的范围．

【解析】试题分析：（1）利用公式法解绝对值不等式，根据条件建方程，求得；（2）通过三角绝对值不等式求函数的最值. 试题解析：（1）由题意可知∵不等式∴（2）∵∴

的解集是解得

，

，学￥科￥网...

当

时，

，

．

，

，

，解得

，