初一升初二数学第五讲

§14．1．1 函数

教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境

情景问题：一辆汽车以60千米／小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米．?行驶时间为t小时．

１．请同学们根据题意填写下表： t/时 s/千米 1 2 3 4 5 ２．在以上这个过程中，变化的量是________．变变化的量是__________． ３．试用含t的式子表示s．

通过本节课的学习，相信大家一定能够解决这些问题． Ⅱ．导入新课

我们首先来思考上面的几个问题，可以互相讨论一下，然后回答． 这种问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的里程随行驶时间的变化过程．其实现实生活中有好多类似的问题，都是反映不同事物的变化过程，其中有些量的值是按照某种规律变化，其中有些量的是按照某种规律变化的，如上例中的时间t、?里程s，有些量的数值是始终不变的，如上例中的速度60千米／小时． [活动一]

活动内容设计：

１．每张电影票售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出205张，晚场售出310张．三场电影的票房收入各多少元．设一场电影售票x张，票房收入y元．?怎样用含x的式子表示y? ２．在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律．如果弹簧原长10cm?，?每1kg?重物使弹簧伸长0．5cm，怎样用含有重物质量m的式子表示受力后的弹簧长度？ 设计意图：

让学生熟练从不同事物的变化过程中寻找出变化量之间的变化规律，并逐步学会用含有一个变化量的式子表示另一个变化的量． 教师活动：

引导学生通过合理、正确的思维方法探索出变化规律． 学生活动：

在教师的启发引导下，经历尝试运算、猜想探究、归纳总结及验证等过程得到正确的结论．

活动结论：

１．早场电影票房收入：150×10=1500（元） 日场电影票房收入：205×10=2050（元） 晚场电影票房收入：310×10=3100（元） 关系式：y=10x

２．挂1kg重物时弹簧长度： 1×0．5+10=10．5（cm） 挂2kg重物时弹簧长度：2×0．5+10=11（cm） 挂3kg重物时弹簧长度：3×0．5+10=11．5（cm） 关系式：L=0．5m+10

[师]通过上述活动，我们清楚地认识到，要想寻求事物变化过程的规律，首先需确定在这个过程中哪些量是变化的，而哪些量又是不变的．在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量（variable），那么数值始终不变的量称之为常量（constant）．如上述两个过程中，售出票数x、票房收入y；重物质量m，?弹簧长度L都是变量．而票价10元，弹簧原长10cm……都是常量．

其次通过尝试运算，猜想探究找出变量间的变化规律，并加以验证，才能保证写出准确无误的关系式． [活动二]

活动内容设计：

１．要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少？圆的面积为20cm2呢？怎样用含有圆面积Ｓ的式子表示圆半径r？

２．用10m长的绳子围成矩形，试改变矩形长度．观察矩形的面积怎样变化．?记录不同的矩形的长度值，计算相应的矩形面积的值，探索它们的变化规律：设矩形的长度为xcm，面积为Ｓcm2．怎样用含有x的式子表示Ｓ？ 设计意图：

进一步熟悉巩固前面总结的探究方法，并学会利用以前所学的一些公式来帮助分析解决问题．

教师活动：

引导学生熟悉巩固前面所总结的探究方法，提醒他们可以应用有关公式来帮助分析解决问题．

学生活动：

利用上面总结的经验探究规律，并能利用有关公式顺利完成题目要求． 活动过程及结论：

１．要求已知面积的圆的半径，可利用圆的面积公式经过变形求出S=?r2 ?r=S ? 面积为10cm2的圆半径r=1020≈1．78（cm） 面积为20cm2的圆半径r=≈2．52??（cm） 关系式：r＝S ? ２．因矩形两组对边相等，所以它一条长与一条宽的和应是周长10cm的一半，即5cm． 若长为1cm，则宽为5-1=4（cm） 据矩形面积公式：Ｓ＝1×4=4（cm2） 若长为2cm，则宽为5-2=3（cm） 面积 Ｓ＝2×（5-2）=6（cm2） … …

若长为xcm，则宽为5-x（cm） 面积 S=x·（5-x）=5x-x2（cm2） [师]从以上两个题中可以看出，在探索变量间变化规律时，可利用以前学过的一些有关知识公式进行分析寻找，以便尽快找出之间关系，确定关系式． Ⅲ．随堂练习

１．购买一些铅笔，单价0．2元／支，总价y元随铅笔支数x变化，?指出其中的常量

与变量，并写出关系式．

２．一个三角形的底边长5cm，高h可以任意伸缩．写出面积Ｓ随h?变化关系式，并指出其中常量与变量．

解：１．买1支铅笔价值 1×0．2=0．2（元） 买2支铅笔价值 2×0．2=0．4（元） ……

买x支铅笔价值 x×0．2=0．2x（元） 所以 y=0．2x

其中单价0．2元／支是常量，总价y元与支数x是变量． ２．根据三角形面积公式可知：

当高h为2cm时，面积Ｓ＝×5×2=5cm2

… …

当高为hcm，面积Ｓ＝×5×h=2．5hcm2

当高h为1cm时，面积Ｓ＝×5×1=2．5cm2

其中底边长为5cm是常量，面积Ｓ与高h是变量． Ⅳ．课时小结

本节课从现实问题出发，找出了寻求事物变化中变量之间变化规律的一般方法步骤．它对以后学习函数及建立函数关系式有很重要意义． １．确定事物变化中的变量与常量． ２．尝试运算寻求变量间存在的规律． ３．利用学过的有关知识公式确定关系区． Ⅴ．课后作业

课后思考题、练习题．

课后反思：

§14．1．2 函数

教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境

我们来回顾一下上节课所研究的每个问题中是否各有两个变化？同一问题中的变量之间有什么联系？也就是说当其中一个变量确定一个值时，另一个变量是否随之确定一个值呢？

这将是我们这节研究的内容． Ⅱ．导入新课

我们首先回顾一下上节活动一中的两个问题．思考它们每个问题中是否有两个变量，变量间存在什么联系．

由以上回顾我们可以归纳这样的结论： 上面每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量随之就有唯一确定的值与它对应．

其实，在一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量间的关系．我们来看下面两个问题，通过观察、思考、讨论后回答：

（1）下图是体检时的心电图．其中横坐标x表示时间，纵坐标y?表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量．在心电图中，对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的对应值吗？

（2）在下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以记作两个变量x与y，?对于表中每个确定的年份（x），都对应着个确定的人口数（y）吗？

中国人口数统计表

年份 1984 1989 1994 1999 人口数／亿 10．34 11．06 11．76 12．52 我们通过观察不难发现在问题（1）的心电图中，对于x的每个确定值，y?都有唯一确定的值与其对应；在问题（2）中，对于表中每个确定的年份x，都对应着一个确定的人口数y． 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x?的每个确定的值，y?都有唯一确定的值与其对应，?那么我们就说x?是自变量（independentvariable），y是x的函数（function）．如果当x=a时，y=b，那么b?叫做当自变量的值为a时的函数值． 据此我们可以认为：上节情景问题中时间t是自变量，里程s是t的函数．t=1时的函数值s=60，t=2时的函数值s=120，t=2．5时的函数值s=150，…，同样地，在以上心电图问题中，时间x是自变量，心脏电流y是x的函数；人口数统计表中，?年份x是自变量，人口数y是x的函数．当x=1999时，函数值y=12．52亿．

从上面的学习中可知许多问题中的变量之间都存在函数关系． [活动一]

活动内容设计：

１．在计算器上按照下面的程序进行操作：

填表： x 1 y 3 -4 0 101 显示的数y是输入的数x的函数吗？为什么？

２．在计算器上按照下面的程序进行操作．

下表中的x与y是输入的5个数与相应的计算结果：

x y 1 3 2 5 3 7 0 2 -1 -1 所按的第三、四两个键是哪两个键？y是x的函数吗？如果是，写出它的表达式（用含有x的式子表示y）．