高考数学大一轮复习第三章题组层级快练16导数的应用一 - - 单调性文含解析

题组层级快练(十六)

1．当x>0时，f(x)＝x＋4

x的单调减区间是( )

A．(2，＋∞) B．(0，2) C．(2，＋∞) D．(0，2)

答案 B

解析 f′(x)＝1－4（x－2）（x＋2）

x2＝x2

<0， 又∵x>0，∴x∈(0，2)，∴选B.

2．函数f(x)＝(x－3)ex

的单调递增区间是( ) A．(－∞，2) B．(0，3) C．(1，4) D．(2，＋∞)

答案 D

解析 f′(x)＝(x－3)′ex

＋(x－3)(ex

)′＝(x－2)ex

，令f′(x)>0，解得x>2，故选D. 3．函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间上是增函数( ) A．(π3π

2，2) B．(π，2π) C．(3π5π

2，2) D．(2π，3π)

答案 B

解析 方法一：(分析法)计算函数在各个端点处的函数值，有下表：

x π2 π 3π2 2π 5π2 3π y －1 －π 1 2π －1 －3π 由表中数据大小变化易得结论B项． 方法二：(求导法)由y′＝－xsinx>0，则sinx<0，只有B项符合，故选B项． 4．函数f(x)＝lnx－ax(a>0)的单调递增区间为( ) A．(0，1

a)

B．(1

a，＋∞)

C．(－∞，1

a) D．(－∞，a)

答案 A

解析 由f′(x)＝1x－a>0，得0

a

.

1

1

∴f(x)的单调递增区间为(0，)．

a

5.在R上可导的函数f(x)的图像如图所示，则关于x的不等式xf′(x)<0的解集为( )

A．(－∞，－1)∪(0，1) C．(－2，－1)∪(1，2) 答案 A

解析 在(－∞，－1)和(1，＋∞)上，f(x)递增，所以f′(x)>0，使xf′(x)<0的范围为(－∞，－1)；

在(－1，1)上，f(x)递减，所以f′(x)<0，使xf′(x)<0的范围为(0，1)． 综上，关于x的不等式xf′(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0，1)． 6．若函数y＝a(x－x)的递减区间为(－A．a>0 B．－1＜a＜0 C．a>1 D．0＜a＜1 答案 A

解析 y′＝a(3x－1)， 解3x－1＜0，得－3

2

23

B．(－1，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

33

，)，则a的取值范围是( ) 33

33

＜x＜. 33

33

，)上为减函数． 33

33

，)．∴a>0. 33

∴f(x)＝x－x在(－

3

又y＝a(x－x)的递减区间为(－

7．如果函数f(x)的导函数f′(x)的图像如图所示，那么函数f(x)的图像最有可能的是( )

答案 A

8．(2019·四川双流中学)若f(x)＝x－ax＋1在(1，3)上单调递减，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，3] 9

C．(3，)

2答案 B

解析 因为函数f(x)＝x－ax＋1在(1，3)上单调递减，所以f′(x)＝3x－2ax≤0在(1，

3

2

2

3

2

9

B．[，＋∞)

2D．(0，3)

2

3399

3)上恒成立，即a≥x在(1，3)上恒成立．因为<，所以a≥.故选B.

2222

9．(2019·合肥一中模拟)函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1

1)时，(x－1)·f′(x)<0，设a＝f(0)，b＝f()，c＝f(3)，则( )

2A．a

解析 由f(x)＝f(2－x)可得对称轴为x＝1， 故f(3)＝f(1＋2)＝f(1－2)＝f(－1)．

又x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，可知f′(x)>0. 1

即f(x)在(－∞，1)上单调递增，f(－1)

2

10．(2019·福建南平质检)已知函数f(x)(x∈R)图像上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x0－2)(x0－1)(x－x0)，那么函数f(x)的单调减区间是( ) A．[－1，＋∞) C．(－∞，－1)和(1，2) 答案 C

解析 因为函数f(x)(x∈R)图像上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x0－2)(x0－1)(x－x0)，所以函数f(x)的图像在点(x0，y0)处的切线的斜率k＝(x0－2)(x0－1)，函数f(x)的导函数为f′(x)＝(x－2)(x－1)．由f′(x)＝(x－2)(x－1)<0，得x<－1或1

12

11．(2018·湖北荆州质检)函数f(x)＝lnx－x－x＋5的单调递增区间为________．

2答案 (0，

5－1

) 2

2

2

2

2

2

B．c

B．(－∞，2] D．[2，＋∞)

15－1

解析 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，再由f′(x)＝－x－1>0得可解0

12．若函数y＝－x＋ax有三个单调区间，则实数a的取值范围是________．

3答案 a>0

1322

解析 y′＝－x＋a，y＝－x＋ax有三个单调区间，则方程－x＋a＝0应有两个不等实根，

3故a>0.

13．已知函数f(x)＝kx＋3(k－1)x－k＋1(k>0)的单调递减区间是(0，4)． (1)实数k的值为________；

3

3

2

2

(2)若在(0，4)上为减函数，则实数k的取值范围是________． 11

答案 (1) (2)0

33

12

解析 (1)f′(x)＝3kx＋6(k－1)x，由题意知f′(4)＝0，解得k＝.

3

2（k－1）2

(2)由f′(x)＝3kx＋6(k－1)x≤0并结合导函数的图像可知，必有－≥4，解得

k11k≤.又k>0，故0

14．(2018·山西怀仁一中期中)已知函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，且对任意的x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为________． 答案 (－1，＋∞)

解析 令g(x)＝f(x)－2x－4，则g′(x)＝f′(x)－2>0，∴g(x)在R上为增函数，且g(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0.原不等式可转化为g(x)>g(－1)，解得x>－1，故原不等式的解集为(－1，＋∞)．

15．设函数f(x)＝x(e－1)－ax. 1

(1)若a＝，求f(x)的单调区间；

2

(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．

答案 (1)增区间(－∞，－1]，[0，＋∞)，减区间[－1，0] (2)(－∞，1]

112x

解析 (1)当a＝时，f(x)＝x(e－1)－x，

22f′(x)＝e－1＋xe－x＝(e－1)(x＋1)．

当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；当x∈(－1，0)时，f′(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.

故f(x)在(－∞，－1]，[0，＋∞)上单调递增，在[－1，0]上单调递减． (2)f(x)＝x(e－1－ax)．

令g(x)＝e－1－ax，则g′(x)＝e－a.

若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x≥0时g(x)≥0，即f(x)≥0.

若a>1，则当x∈(0，lna)时，g′(x)＜0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x∈(0，lna)时g(x)<0，即f(x)<0.综上得a的取值范围为(－∞，1]．

ax

16．(2019·辽宁大连双基自测)已知函数f(x)＝lnx＋(a∈R)．

x＋1(1)若函数f(x)在区间(0，4)上单调递增，求a的取值范围；

4

x

x

xx

x

x

x

2

(2)若函数y＝f(x)的图像与直线y＝2x相切，求a的值． 答案 (1)a≥－4 (2)4

2

解析 (1)f′(x)＝1a（x＋1）－ax（x＋1）＋ax

x＋（x＋1）2＝x（x＋1）2. ∵函数f(x)在区间(0，4)上单调递增， ∴f′(x)≥0在(0，4)上恒成立，

x2

∴(x＋1)2

＋ax≥0，即a≥－＋2x＋1x＝－(x＋1

x

)－2在(0，4)上恒成立．

∵x＋1

x

≥2，当且仅当x＝1时取等号，∴a≥－4.

(2)设切点为(xyax0

0，y0)，则0＝2x0，f′(x0)＝2，y0＝lnx0＋x，

0＋1∴1x＋a（x2＝2① 00＋1）且2xax0

0＝lnx0＋x②

0＋1由①得a＝(2－12

x)(x0＋1)，③

0

代入②，得2x0＝lnx0＋(2x0－1)(x0＋1)， 即lnx2

0＋2x0－x0－1＝0. 令F(x)＝lnx＋2x2

－x－1，则 2

F′(x)＝1x＋4x－1＝4x－x＋1

x>0，

∴F(x)在(0，＋∞)上单调递增． ∵F(1)＝0，∴x0＝1，代入③式得a＝4.

5