2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.5简单的三角恒等变换第2课时简单的三角恒等变换

。 。 。 第2课时 简单的三角恒等变换

题型一 三角函数式的化简

142

2cosx－2cosx＋

2

例1 (1)化简：＝ .

π???2?π

2tan?－x?sin?＋x?

?4??4?

π?π?10??π??(2)已知cos?θ＋?＝，θ∈?0，?，则sin?2θ－?＝ . 4?102?3????14－33

答案 (1)cos 2x (2) 210

1

2

4

x－4cos2x＋

解析 (1)原式＝

π??sin?－x??4??2?π2×·cos?－x?

?4??π?cos?－x?

?4?

2

2

＝

x－

?π??π?4sin?－x?cos?－x?

?4??4?

2

cos2x＝ π??2sin?－2x??2?cos2x1＝＝cos 2x. 2cos 2x2

π??1＋cos?2θ＋?2?1π?π?4??2?(2)由题意可得，cos?θ＋?＝＝，cos?2θ＋?＝－sin 2θ＝－，即4?2?2105??4

sin 2θ＝.

5

π?10??π?因为cos?θ＋?＝>0，θ∈?0，?， 4?102???π?π?所以0<θ<，2θ∈?0，?，

2?4?

3

根据同角三角函数基本关系式可得cos 2θ＝，

5由两角差的正弦公式可得

2

1

π?ππ4－33?sin?2θ－?＝sin 2θcos －cos 2θsin ＝. 3?3310?

思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．

π3π

(1)已知cos(x－)＝－，则cos x＋cos(x－)＝ .

633

(2)若α∈??π?2，π???，且3cos 2α＝sin??π?4－α???

，则sin 2α的值为( A.1

18 B．－1

18 C.1718

D．－1718

答案 (1)－1 (2)D 解析 (1)cos x＋cos(x－π

3)

＝cos x＋12cos x＋3

2sin x

＝33π

2cos x＋2sin x＝3cos(x－6) ＝3×(－3

3

)＝－1. (2)cos 2α＝sin??π?2－2α??? ＝sin???2??π?4－α??????

＝2sin?

?π?4－α???cos??π?4－α??

?

代入原式，得

6sin??π?4－α???cos??π?4－α???＝sin??π??4－α??

， ∵α∈?

?π?2，π???，∴cos??π－α?＝1?4??

6

，

∴sin 2α＝cos??π?2－2α???

＝2cos2??π

?4－α??17?－1＝－18. 题型二 三角函数的求值

)

2

命题点1 给值求值问题

153

例2 (1)(2017·合肥联考)已知α，β为锐角，cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β

714＝ . 答案 1

2

解析 ∵α为锐角， ∴sin α＝

1－

12

＝437

7

.

∵α，β∈(0，π

2)，∴0<α＋β<π.

又∵sin(α＋β)π

2，

∴cos(α＋β)＝－11

14.

cos β＝cos[(α＋β)－α]

＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－111534314×7＋14×7＝4998＝12.

(2)(2015·广东)已知tan α＝2. ①求tan(α＋π

4

)的值；

②求sin 2α

sin2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．

解 ①tan(α＋πtan α＋tan

π

4)＝4＝2＋1

＝－3.

1－tan αtan

π1－2×1

4②sin 2α

sin2

α＋sin αcos α－cos 2α－1

＝2sin αcos α

sin2

α＋sin αcos α－2cos2

α

＝

2tan αtan2

α＋tan α－2＝2×2

4＋2－2

＝1.

命题点2 给值求角问题

例3 (1)设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010

，则α＋β的值为( ) 3

A.C.

3π 47π 4

B.D.

5π 45π7π或 44

11

(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为 ．

27答案 (1)C (2)－3π

4

解析 (1)∵α，β为钝角，sin α＝55，cos β＝－31010

， ∴cos α＝－2510

5，sin β＝10

，

∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝2

2

>0. 又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈(3π

2，2π)，

∴α＋β＝7π

4

. (2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β] ＝α－β＋tan β

1－

α－ββ

1－1＝27＝1>0，1＋113

2×7∴0<α<π

2

.

1又∵tan 2α＝2tan α

2×31－tan2

α＝＝3

>0，1－

1

2

4 3∴0<2α<π

2

，

∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β

1＋tan 2αtan β

31＝4＋71－31＝1.

4×7

4