推荐下载 2018届高三数学理二轮复习第一部分 重点保分题：专题检测十导数的简单应用 含解析

专题检测（十） 导数的简单应用（高考题型全能练）

一、选择题

1

1．函数f(x)＝2x2－ln x的最小值为( ) 1

A.2 B．1 C．0 D．不存在

2．(2016·四川高考)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝( ) A．－4 B．－2 C．4 D．2

3．(2016·重庆模拟)若直线y＝ax是曲线y＝2ln x＋1的一条切线，则实数a＝( )

11

1122A．e－2 B．2e－2 C．e D．2e

4．已知函数f(x)＝x3＋3x2－9x＋1，若f(x)在区间[k，2]上的最大值为28，则实数k的取值范围为( )

A．[－3，＋∞) B．(－3，＋∞) C．(－∞，－3) D．(－∞，－3]

5．(2016·石家庄模拟)已知a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，若t＝ab，则t的最大值为( )

A．2 B．3 C．6 D．9

6．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若x2f′(x)＋xf(x)＝sin x(x∈(0，6))，f(π)＝2，则下列结论正确的是( )

A．xf(x)在(0，6)上单调递减 B．xf(x)在(0，6)上单调递增 C．xf(x)在(0，6)上有极小值2π D．xf(x)在(0，6)上有极大值2π 二、填空题

1

f（x）dx?7．(2016·兰州模拟)若f(x)＋?f(x)dx＝x，则?＝________. 0?0

1

1?1?

8．已知函数f(x)＝2x2＋2ax－ln x，若f(x)在区间?3，2?上是增函数，则实数a

??的取值范围为________．

1

9．设函数f(x)＝ln x－2ax2－bx，若x＝1是f(x)的极大值点，则a的取值范围是________．

三、解答题

1

10．已知函数f(x)＝x－2ax2－ln(1＋x)(a>0)． (1)若x＝2是f(x)的极值点，求a的值； (2)求f(x)的单调区间．

x

11．(2016·兰州模拟)已知函数f(x)＝ln x＋ax，x>1. (1)若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围； (2)若a＝2，求函数f(x)的极小值．

2

12．已知函数f(x)＝ax－x－3ln x，其中a为常数．

?2?2???3?

??(1)当函数f(x)的图象在点?3，f3?处的切线的斜率为1时，求函数f(x)在?2，3???????上的最小值；

(2)若函数f(x)在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，求a的取值范围．

答 案

2

1x－1

1. 解析：选A ∵f′(x)＝x－x＝x，且x>0.令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，

11

得0

f′(x)＞0；当－2＜x＜2时，f′(x)＜0，∴f(x)在(－∞，－2)上为增函数，在(－2，2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．∴f(x)在x＝2处取得极小值，∴a＝2.

3. 解析：选B 依题意，设直线y＝ax与曲线y＝2ln x＋1的切点的横坐标为2??a＝，221x0x0，则有y′|x＝x0＝x，于是有?解得x0＝e，a＝x＝2e－2，选B.

00??ax0＝2ln x0＋1，

4. 解析：选D 由题意知f′(x)＝3x2＋6x－9，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－3，所以f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：

x f′(x) (－∞，－3) ＋ －3 (－3，1) 1 (1，＋∞) ＋ 单调递增 0 极大值 － 单调递减 0 极小值 f(x) 单调递增 又f(－3)＝28，f(1)＝－4，f(2)＝3，f(x)在区间[k，2]上的最大值为28，所以k≤－3.

5. 解析：选D ∵f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2，∴f′(x)＝12x2－2ax－2b，又f(x)在x＝1处取得极值，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，即a＋b＝6，∴t＝ab＝a(6－a)＝－(a－3)2＋9，∴当且仅当a＝b＝3时，t取得最大值9，故选D.

sin x

6. 解析：选D 因为xf′(x)＋xf(x)＝sin x，x∈(0，6)，所以xf′(x)＋f(x)＝x，

2

sin x设g(x)＝xf(x)，x∈(0，6)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)＝x，由g′(x)>0得0

7. 解析：?1f(x)dx是一个常数，设为c，则有f(x)＝x－c，∴x－c＋?1(x－c)dx

?0?011

＝x，解得c＝4，即?1f(x)dx＝4.

?0

1答案：4

11?1?

8. 解析：由题意知f′(x)＝x＋2a－x≥0在?3，2?上恒成立，即2a≥－x＋x在

???1?

?3，2?上恒成立． ??

1?1?

又∵y＝－x＋x在?3，2?上单调递减，

??1?8?

∴?－x＋x?＝3， ??max84∴2a≥3，即a≥3. ?4?答案：?3，＋∞?

??

1

9. 解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－ax－b， 由f′(1)＝0，得b＝1－a.

－ax2＋1＋ax－x（ax＋1）（x－1）1

∴f′(x)＝x－ax＋a－1＝＝－.

xx①若a≥0，当00，f(x)单调递增； 当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 所以x＝1是f(x)的极大值点．

②若a<0，由f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1

a. 因为x＝1是f(x)的极大值点， 所以－1

a>1，解得－1

综合①②得a的取值范围是(－1，＋∞)． 答案：(－1，＋∞) 10. 解：(1)f′(x)＝

x（1－a－ax）

x＋1

，x∈(－1，＋∞)．

依题意，得f′(2)＝0，解得a＝1

3. 经检验，a＝11

3符合题意，故a的值为3. (2)令f′(x)＝0，得x1

1＝0，x2＝a－1.

①当0

x (－1，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) f(x1f(x2) ) ∴f(x)的单调增区间是??1??1?0，a－1??，单调减区间是(－1，0)和??a－1，＋②当a＝1时，f(x)的单调减区间是(－1，＋∞)； ③当a>1时，－1

x (－1，x2) x2 (x2，x1) x1 (x1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) f(x2) f(x1) ∞?

??；