2018-2019学年河南省洛阳市高二(下)期末数学试卷(理科)

P（X＝0）＝＝，

P（X＝1）＝＝，

P（X＝2）＝＝，

P（X＝3）＝＝，

∴X的分布列为：

X P

E（X）＝

0

1

2

3

＝．

【点评】本题考查独立检验的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，考查分层抽样、古典概率、排列组合等基础知识，是中档题．

20．（12分）已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点0，AB＝4，∠BAD＝120°，将△ACD沿AC折起，使点D到达点P位置，满足△OPB为等边三角形． （1）求证：AC⊥PB；

（2）求二面角P﹣BC﹣A的余弦值．

【分析】（1）由AC⊥PO，AC⊥OB，得AC⊥平面POB，由此能证明AC⊥PB． （2）取OB中点M，连结PM，则PM⊥OB，AC⊥面POB，得AC⊥PM，以OC为x轴，OB为y轴，过点O作MP的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P﹣BC﹣A的余弦值．

【解答】证明：（1）由已知，翻折后AC⊥PO，AC⊥OB，PO∩OB＝O，

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∴AC⊥平面POB，

又PB?平面POB，∴AC⊥PB．

解：（2）在菱形ABCD中，AB＝AD＝4，∠BAD＝120°， ∴BD＝4

，OB＝2

，

取OB中点M，连结PM，则PM⊥OB， 又AC⊥面POB，∴AC⊥PM，

又AC∩PO＝O，∴PM⊥面ABC，PM＝3，

以OC为x轴，OB为y轴，过点O作MP的平行线为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则P（0，＝（2，﹣2

），B（0，2，0），

，0），C（2，0，0），

，﹣3），

＝（0，

设平面PBC的法向量＝（x，y，z）， 则

，取z＝1，得＝（3，

），

平面ABC的一个法向量＝（0，0，1）， ∴cos＜

＞＝

＝

，

∵二面角P﹣BC﹣A的平面角是锐角， ∴二面角P﹣BC﹣A的余弦值为

．

【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

21．（12分）过抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F做直线l交抛物线于A，B两点，|AB|的最小值为2．

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（1）求抛物线C的标准方程；

（2）过A，B分别做抛物线C的切线，两切线交于点E，且直线AE，BE分别与x轴交于点P，Q，记△EPQ和△0AB的面积分别为S△EPQ和S△OAB，求证

为定值．

【分析】（1）设直线AB的方程并代入抛物线方程，求得弦长AB的解析式，再求出最小值与已知最小值相等，可得．

（2）通过求导，利用导数的几何意义求得A，B两点处抛物线的切线方程，并联立解得交点E的坐标，再根据面积公式求得两个面积再求比值可得．

【解答】解：（1）由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB：y＝kx+， A（x1，y1），B（x2，y2），

联立方程

，得x2﹣2pkx﹣p2＝0，

△＝（﹣2pk）2+4p2＞0，x1+x2＝2pk，x1x2＝﹣p2， ∴y1+y2＝k（x1+x2）+p，

∴|AB|＝y1+y2+p＝2pk2+2p＝2p（k2+1）， 当k2＝0，|AB|最小，此时2p＝2，所以p＝1， 即抛物线的标准方程为x2＝2y

（2）由x2＝2y得y＝x2，∴y′＝x， ∴kAE＝x1，kBE＝x2， 直线AE：y﹣直线BE：y﹣

＝x1（x﹣x1），令y＝0得P（x1，0）； ＝x2（x﹣x2），令y＝0得P（x2，0），

则联立两直线方程，消去x得yE＝﹣，

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∴S△EPQ＝|yF||xP﹣xQ|＝|x1﹣x2|， SOAB＝|OF||x1﹣x2|＝|x1﹣x2|，

所以＝，即为定值．

【点评】本题考查了抛物线的性质，属中档题． 22．（12分）已知函数f（x）＝x2+2ax+2lnx（a∈R）． （1）若f（x）是单调函数，求a的取值范围；

（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且x2≥e，求|f（x1）﹣f（x2）|的最小值． 【分析】（1）f′（x）＝2x+2a+＝

．x∈（0，+∞）．由f（x）是单调函

数，可得f′（x）在x∈（0，+∞）上恒非负．令y＝x2+ax+1，则

，或﹣

≤0，即可得出a的取值范围．

（2）f（x）的两个极值点x1，x2是方程x2+ax+1＝0的两个实数根．可得x1+x2＝﹣a，x1x2＝1．又x2≥e，可得0＜x1＜1＜e＜x2．f（x）在[x1，x2]上单调递减．可得 |f（x1）﹣f（x2）|＝f（x1）﹣f（x2）＝

﹣

+2a（x1﹣x2）+2ln

，把根与系数代入

化简可得：|f（x1）﹣f（x2）|＝﹣﹣2ln．设

＝t≥e2．设h（t）＝t﹣﹣2lnt．，

利用导数研究其单调性即可得出． 【解答】解：（1）f′（x）＝2x+2a+＝

．x∈（0，+∞）．

∵f（x）是单调函数，∴f′（x）在x∈（0，+∞）上恒非负．

令y＝x2+ax+1，则

，或﹣≤0，

解得a≥﹣2．

∴a的取值范围是[﹣2，+∞）．

（2）f（x）的两个极值点x1，x2是方程x2+ax+1＝0的两个实数根． ∴x1+x2＝﹣a，x1x2＝1．

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