2018-2019学年河南省洛阳市高二(下)期末数学试卷(理科)

η～B（4，），∴P（η≥3）＝P（η＝3）+P（η＝4）＝C（）3（）1+C（）4＝

+

＝．

故答案为：．

【点评】本题考查了二项分布与n次独立重复试验的模型，属基础题． 15．（5分）已知曲线的值为 4 ．

【分析】根据题意，求出曲线的导数，进而求出y′|x＝1＝a﹣1，由导数的几何意义以及直线互相垂直的判断方法可得k＝a﹣1＝3，解可得a的值，即可得答案． 【解答】解：根据题意，曲线则有y′|x＝1＝a﹣1，

则曲线在x＝1处的切线的斜率k＝a﹣1，

若曲线在x＝1处的切线与直线：x+3y+1＝0垂直，则k＝a﹣1＝3， 解可得a＝4； 故答案为：4．

【点评】本题考查利用导数分析切线的斜率，关键是掌握导数的几何意义，属于基础题． 16．（5分）已知F是椭圆

（a＞b＞0）的右焦点，A是椭圆短轴的一个端点，直

，则y′＝﹣

+，

在x＝1处的切线与直线：x+3y+1＝0垂直，则实数a

线AF与椭圆另一交点为B，且，则椭圆的离心率为

【分析】根据三角形相似求出B点坐标，代入椭圆方程得出a，c的关系即可求出椭圆的离心率．

【解答】解：设A为椭圆上顶点，过B作x轴的垂线BD，垂足为D， 则

＝

，

∴DF＝OF＝，BD＝OA＝， ∴B（

，﹣），

代入椭圆方程可得：+＝1，∴＝．

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故答案为：．

【点评】本题考查了椭圆的简单性质，属于中档题．

三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知△ABC三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为BC边的中点，acosB＝﹣（b+2c）cosA，AD＝1． （1）求A；

（2）求△ABC面积的最大值．

【分析】（1）根据正弦定理边化角可得；

（2）根据向量数量积以及基本不等式，面积公式可得．

【解答】解：（1）由acosB＝﹣（b+2c）cosA以及正弦定理可得 sinAcosB＝﹣（sinB+2sinC）cosA，

得sinAcosB+cosAsinB＝﹣2sinCcosA， 得sinC＝﹣2sinCcosA， ∵0＜C＜π，∴sinC≠0， ∴cosA＝﹣， 又0＜A＜π，∴A＝

．

（2）∵点D为BC边的中点， ∴2∴4

＝

2

+， +

）2＝

2

＝（+

2

+2，

又AD＝1，∴4＝b2+c2+2bccos＝b2+c2﹣bc≥bc，

∴bc≤4，当且仅当b＝c时等号成立．

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∴S△ABC＝bcsinA＝bc

．

，当且仅当b＝c时等号成立，

∴△ABC面积的最大值为

【点评】本题考查了三角形中的几何计算，属中档题．

18．（12分）设Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足an2+2an＝4Sn+3． （1）求{an}的通项公式； （2）令bn＝

，若Tn＜m恒成立，求m的取值范围．

【分析】（1）由已知和数列的性质，可推出此数列为等差数列，利用定义写出通项即可；（2）首先将bn变形成差的形式，Tn利用bn这一特点可以消项化简，解不等式的m范围． 【解答】解：（1）由题an2+2an＝4sn+3，…① 令n＝1，得a12+2a1＝4s1+3，解得a1＝3， 当n≥2时，an﹣12+2an﹣1＝4sn﹣1+3，…② ①﹣②得：（an﹣an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）＝0， ∵an＞0，∴an﹣an﹣1﹣2＝0， 即an﹣an﹣1＝2

∴{an}是以3为首项，2为公差的等差数列， ∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1； （2）bn＝∴Tn＝[（＝（

）+（）＝﹣

， ＝

）+…+（

＜，

，

）]

若Tn＜m恒成立，则m

∴m的取值范围为[，+∞）．

【点评】本题属于一般题型，考察了数列的定义和基本性质，对式子的变形有所考察，总体上属于中档题．

19．（12分）“微信运动”是手机APP推出的多款健康运动软件中的一款，某学校140名老师均在微信好友群中参与了“微信运动”，对运动10000步或以上的老师授予“运动达人”称号，低于10000步称为“参与者”，为了解老师们运动情况，选取了老师们在4月28日的运动数据进行分析，统计结果如下：

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男教师 女教师 合计

运动达人 60 40 100

参与者 20 20 40

合计 80 60 140

（1）根据上表说明，能否在犯错误概率不超过0.05的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关？

（2）从具有“运动达人号的教师中，采用按性别分层抽样的方法选取10人参加全国第四届“万步有约”全国健走激励大赛某赛区的活动，若从选取的10人中随机抽取3人作为代表参加开幕式，设抽取的3人中女教师人数为X，写出X的分布列并求出数学期望E（X）． 参考公式：K2＝参考数据：

P（K2≥k）

k

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

，其中n＝a+b+c+d．

【分析】（1）根据列联表数据得到k≈1.167＜3.841，从而不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关．

（2）根据分层抽样方法得选取的10人中，男教师有6人，女教师有4人，由题意得X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）． 【解答】解：（1）根据列联表数据得到： k＝

≈1.167＜3.841，

∴不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关． （2）根据分层抽样方法得： 男教师有女教师有

（人）， （人），

∴选取的10人中，男教师有6人，女教师有4人， 由题意得X的所有可能取值为0，1，2，3，

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