【配套K12】[学习](全国通用版)2019版高考数学大一轮复习 第十二章 推理与证明、算法、复数

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分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证.

【训练2】 △ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c. 求证：

113＋＝. a＋bb＋ca＋b＋c113＋＝， a＋bb＋ca＋b＋c证明 要证即证

a＋b＋ca＋b＋cca＋＝3也就是＋＝1， a＋bb＋ca＋bb＋c只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， 需证c＋a＝ac＋b，

又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°， 由余弦定理，得b＝c＋a－2accos 60°， 即b＝c＋a－ac，故c＋a＝ac＋b成立. 于是原等式成立. 考点三 反证法的应用

【例3】 等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋2，S3＝9＋32. (1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；

(2)设bn＝(n∈N+)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.

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Snn?a1＝2＋1，

(1)解 由已知得?解得d＝2，

?3a1＋3d＝9＋32，

故an＝2n－1＋2，Sn＝n(n＋2).

(2)证明 由(1)得bn＝＝n＋2.假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r∈N+，且互不相等)成等比数列，则bq＝bpbr.即(q＋2)＝(p＋2)(r＋2). ∴(q－pr)＋2(2q－p－r)＝0.

??q－pr＝0，

∵p，q，r∈N+，∴?

?2q－p－r＝0.?

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Snn?p＋r?＝q2＝pr，(p－r)2＝0.∴p＝r，与p≠r矛盾. ∴???2?

∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.

规律方法 1.当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与精品K12教育教学资料

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假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等.

2.用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须否定结论；(2)必须从否定结论进行推理；(3)推导出的矛盾必须是明显的.

【训练3】 (2018·郑州一中月考)若f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b](a

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(1)设g(x)＝x－x＋是[1，b]上的“四维光军”函数，求常数b的值；

22(2)是否存在常数a，b(a>－2)，使函数h(x)＝1

是区间[a，b]上的“四维光军”函数？x＋2

若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.

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解 (1)由题设得g(x)＝(x－1)＋1，其图象的对称轴为x＝1，区间[1，b]在对称轴的右

2边，所以函数在区间[1，b]上单调递增.

由“四维光军”函数的定义可知，g(1)＝1，g(b)＝b， 123

则b－b＋＝b，解得b＝1或b＝3. 22因为b>1，所以b＝3. (2)假设函数h(x)＝因为h(x)＝

1

在区间[a，b](a>－2)上是“四维光军”函数， x＋2

1

在区间(－2，＋∞)上单调递减， x＋2

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＝b，???h（a）＝b，?a＋2

所以有?即?

?h（b）＝a，1?

??b＋2＝a.解得a＝b，这与已知矛盾. 故不存在常数a，b使函数h(x)＝

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是[a，b]上的“四维光军”函数. x＋2

基础巩固题组 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1.用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设( ) A.三个内角都不大于60° B.三个内角都大于60°

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C.三个内角至多有一个大于60° D.三个内角至多有两个大于60°

解析 “至少有一个”的否定是“一个都没有”，故可以理解为都大于60°. 答案 B

2.已知m>1，a＝m＋1－m，b＝m－m－1，则以下结论正确的是( ) A.a>b C.a＝b

1

B.a

D.a，b大小不定

解析 ∵a＝m＋1－m＝

m＋1＋m.

，

b＝m－m－1＝

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m＋m－1

而m＋1＋m>m＋m－1＞0(m＞1)， ∴

1

m＋1＋m<

1

m＋m－1

，即a

答案 B

3.若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是( ) A.lg(1＋a)>0 C.a＋3ab>2b

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B.a＋b≥2(a－b－1) D.<

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aa＋1

bb＋1

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解析 在B中，∵a＋b－2(a－b－1)＝(a－2a＋1)＋(b＋2b＋1)＝(a－1)＋(b＋1)≥0， ∴a＋b≥2(a－b－1)恒成立. 答案 B

4.分析法又称“执果索因法”，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证b－ac＜3a”索的因应是( ) A.a－b＞0

B.a－c＞0 D.(a－b)(a－c)＜0

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C.(a－b)(a－c)＞0

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解析 由题意知b－ac＜3a?b－ac＜3a ?(a＋c)－ac＜3a?a＋2ac＋c－ac－3a＜0 ?－2a＋ac＋c＜0?2a－ac－c＞0 ?(a－c)(2a＋c)＞0?(a－c)(a－b)＞0. 答案 C

5.①已知p＋q＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，

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|a|＋|b|<1，求证方程x＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下正确的是( ) A.①与②的假设都错误 B.①与②的假设都正确 C.①的假设正确；②的假设错误 D.①的假设错误；②的假设正确

解析 反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p＋q＞2，所以①不正确；对于②，其假设正确. 答案 D

二、填空题

6.6＋7与22＋5的大小关系为________. 解析 要比较6＋7与22＋5的大小， 只需比较(6＋7)与(22＋5)的大小， 只需比较6＋7＋242与8＋5＋410的大小，

只需比较42与210的大小，只需比较42与40的大小， ∵42>40，∴6＋7>22＋5. 答案

6＋7>22＋5

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7.用反证法证明命题“a，b∈R，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是______________________.

解析 “至少有一个能被5整除”的否定是“都不能被5整除”. 答案 “a，b都不能被5整除”

8.下列条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件的序号是________.

解析 要使＋≥2，只需>0成立，即a，b不为0且同号即可，故①③④能使＋≥2成立.

答案 ①③④ 三、解答题

9.若a，b，c是不全相等的正数，求证： 精品K12教育教学资料

baabbaabbabaab