配套K12[学习]（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习 第十二章 推理与证明、算法、复数

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第2节 直接证明与间接证明

最新考纲 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点.

知 识 梳 理

1.直接证明 内容 综合法 分析法 从待证结论出发，一步一步寻求结论成从已知条件出发，经过逐步的推理，最定义 后达到待证结论的方法，是一种从原因推导到结果的思维方法 立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实的方法，是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法 从“已知”看“可知”，逐步推向“未特点 知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的必要条件 步骤的 符号表示 2.间接证明

间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法. (1)反证法的定义：一般地，由证明p?q转向证明：

綈q?r?…?t

从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件 P0(已知)?P1?P2?P3?P4(结论) B(结论)?B1?B2…?Bn?A(已知) t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定綈q为假，推出q为真的方法，叫做反证法.

(2)用反证法证明的一般步骤：①分清命题的条件和结论；②做出与命题结论相矛盾的假定；③由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真.

诊 断 自 测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.( ) 精品K12教育教学资料

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(2)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a

(4)在解决问题时，常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程.( )

解析 (1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件. (2)应假设“a≤b”. (3)反证法只否定结论.

答案 (1)× (2)× (3)× (4)√

2.若a，b，c为实数，且a

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B.a>ab>b D.> 2

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abbaab解析 a－ab＝a(a－b)，∵a0，∴a>ab.① 又ab－b＝b(a－b)>0，∴ab>b，② 由①②得a>ab>b. 答案 B

3.要证a＋b－1－ab≤0，只要证明( ) A.2ab－1－ab≤0 B.a＋b－1－2

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a4＋b4

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≤0

（a＋b）22C.－1－ab≤0

2D.(a－1)(b－1)≥0

解析 a＋b－1－ab≤0?(a－1)(b－1)≥0. 答案 D

4.用反证法证明：若整系数一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数.用反证法证明时，下列假设正确的是( ) A.假设a，b，c都是偶数 B.假设a，b，c都不是偶数 C.假设a，b，c至多有一个偶数 D.假设a，b，c至多有两个偶数

解析 “至少有一个”的否定为“都不是”，故B正确. 精品K12教育教学资料

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精品K12教育教学资料 答案 B

5.(教材例题改编)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为________.

π2222

解析 由题意2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，∴B＝，又b＝ac，由余弦定理得b＝a＋c3－2accos B＝a＋c－ac，

∴a＋c－2ac＝0，即(a－c)＝0，∴a＝c， π

∴A＝C，∴A＝B＝C＝，∴△ABC为等边三角形.

3答案 等边三角形

考点一 综合法的应用

【例1】 数列{an}满足an＋1＝，a1＝1.

2an＋1

?1?

(1)证明：数列??是等差数列；

?an?

?1?111n(2)(一题多解)求数列??的前n项和Sn，并证明＋＋…＋>. S1S2Snn＋1?an?

2

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2

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an(1)证明 ∵an＋1＝，

2an＋1∴即

11

anan＋1

2an＋111＝，化简得＝2＋，

anan＋1anan＋1an1

－＝2，

?an?

?1?

故数列??是以1为首项，2为公差的等差数列.

1n（1＋2n－1）2

(2)解 由(1)知＝2n－1，∴Sn＝＝n.

an2法一

11111111?1??11?＋＋…＋＝2＋2＋…＋2>＋＋…＋＝?1－?＋?－?＋…

S1S2Sn12n1×22×3n（n＋1）?2??23?1

1?1n?1

＋?－＝1－＝. ?n＋1n＋1?nn＋1?法二 又∵1>

11111

＋＋…＋＝2＋2＋…＋2>1， S1S2Sn12n111n，∴＋＋…＋>. n＋1S1S2Snn＋11

n规律方法 1.综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性. 精品K12教育教学资料

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2.综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理.

【训练1】 (2018·东北三省三校调研)已知a，b，c>0，a＋b＋c＝1.求证： (1)a＋b＋c≤3； 1113(2)＋＋≥. 3a＋13b＋13c＋12

证明 (1)∵(a＋b＋c)＝(a＋b＋c)＋2ab＋2bc＋2ca≤(a＋b＋c)＋(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝3， ∴a＋b＋c≤3. (2)∵a＞0，∴3a＋1＞0， ∴

4

＋(3a＋1)≥23a＋1

4

（3a＋1）＝4， 3a＋1

2

41

当且仅当＝3a＋1，即a＝时取“＝”.

3a＋13∴

444≥3－3a，同理得≥3－3b，≥3－3c， 3a＋13b＋13c＋1

以上三式相加得 4?

?1＋1＋1?≥9－3(a＋b＋c)＝6，

?

?3a＋13b＋13c＋1?

1113＋＋≥， 3a＋13b＋13c＋12

∴

1

当且仅当a＝b＝c＝时取“＝”.

3考点二 分析法的应用

【例2】 已知a≥b>0，求证：2a－b≥2ab－ab. 证明 要证明2a－b≥2ab－ab成立， 只需证2a－b－2ab＋ab≥0， 即2a(a－b)＋b(a－b)≥0， 即(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0.

∵a≥b>0，∴a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0， 从而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立， ∴2a－b≥2ab－ab.

规律方法 1.逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.

2.证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充

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