2013届高三数学一轮复习课时作业(23)平面向量基本定理及向量坐标运算 江苏专版

课时作业(二十三) [第23讲 平面向量基本定理及向量坐标

运算]

[时间：45分钟 分值：100分]

基础热身

1．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝________.

→1→

2．已知点A(2,3)，B(－1,5)，且AC＝AB，则点C的坐标是________．

3→

3．已知A(－1, －1), B(1,3)，则与AB共线的单位向量为________．

4．下列各组向量中：①e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)；②e1＝(3,5)，e2＝(6,10)；③e1＝(2，

3??1

－3)，e2＝?，－?.有一组能作为表示它们所在平面内所有向量的基底，这一组是

4??2

________(填序号)．

能力提升

→

5．已知点A(－1，－5)和向量a＝(2,3)，若AB＝3a，则点B的坐标为________．

→→→

6．原点O是正六边形ABCDEF的中心，OA＝(－1，－3)，OB＝(1，－3)，则OC等于________．

7．与向量a＝(3，－4)平行的单位向量b＝________.

8．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，则用a，b表示c为________．

9．[2011·湖南卷] 设向量a，b满足|a|＝25，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．

10．直角坐标系xOy中，i，j分别是与x轴，y轴同向的单位向量．在Rt△ABC中，若→→

AB＝2i＋j，AC＝3i＋kj，则k的可能值个数是________．

→→

11. 设0≤θ<2π，已知两个向量OP1＝(cosθ，sinθ)，OP2＝(2＋sinθ，2－cosθ)，→

则向量P1P2长度的最大值是________．

12．已知：向量p＝(m1，n1)，q＝(m2，n2)，且q≠0，则在下列各结论中，是p∥q的充分不必要条件的为________．

(1)p＝λq(λ∈R，且λ≠0)； (2)m1n1＝m2n2； (3)m1n1＋m2n2＝0；

m1m2n1n2n2n1(5)＝. m2m1

(4)＝；

→→→

13．(8分)已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若AP＝AB＋λ·AC(λ∈R)，试问： (1)λ为何值时，点P在一、三象限角平分线上； (2)λ为何值时，点P在第三象限．

1

→1→→1→→

14．(8分)如图K23－1，在△OAB中，OC＝OA，OD＝OB，AD与BC交于点M.设OA＝a，

42

＝b，以a、b为基底表示→OM.

图K23－1

15．(12分)已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2)． (1)若a∥b，求tanθ的值；

(2)若|a|＝|b|(0<θ<π)，求θ的值．

16．(12分)已知向量u＝(x，y)与v＝(y,2y－x)的对应关系用v＝f(u)表示． (1)证明：对于任意向量a，b及常数m，n恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立； (2)设a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向量f(a)及f(b)的坐标； (3)求使f(c)＝(p，q)(p，q为常数)的向量c的坐标．

2

→OB

课时作业(二十三)

【基础热身】

1．(7,3) [解析] a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(3,5)－(－4,2)＝(7,3)．

2?→→→?11?→→1→??11?2.?1，? [解析] AB＝(－3,2)，AC＝AB＝?－1，?，OC＝OA＋AC＝?1，?，即

3?3?3?3???

?11?C?1，?.

3??

→AB525??525??→

3.?，?或?－，－? [解析] 与AB共线的单位向量为±→＝

5??55??5|AB|525??525??

?，?或?－，－?.

5??55??5

4．① [解析] ①中，e1与e2不共线．②中e2＝2e1，③中e1＝4e2，故②③中e1、e2共

线，不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底．

【能力提升】

→→→→→

5．(5,4) [解析] OA＝(－1，－5)，AB＝3a＝(6,9)，故OB＝OA＋AB＝(5,4)，故点B坐标为(5,4)．

6．(2,0) [解析] ∵正六边形中，OABC为平行四边形， →→→∴OB＝OA＋OC， →→→

∴OC＝OB－OA＝(2,0)．

4??34?1?3

7.?，－?或?－，? [解析] 因为|a|＝5，所以与a平行的单位向量b＝±a，即b5??55?5?5

4??34??3

＝?，－?或?－，?.

5??55??5

8．c＝－a＋2b [解析] 设c＝λa＋μb，则

(3,4)＝λ(1,2)＋μ(2,3)＝(λ＋2μ，2λ＋3μ)， ???λ＋2μ＝3，?λ＝－1，∴?解得? ?2λ＋3μ＝4，?μ＝2，??∴c＝－a＋2b. 9．(－4，－2) [解析] 因为a与b的方向相反，根据共线向量定义有：a＝λb(λ<0)，所以a＝(2λ，λ)．

22由|a|＝25，得2λ＋λ＝25?λ＝－2或λ＝2(舍去)，故a＝(－4，－2)． 10．2 [解析] 如图，将A放在坐标原点，则B点坐标为(2,1)，C点坐标为(3，k)，所以C点在直线x＝3上，由图知，只可能A、B为直角顶点，C不可能为直角顶点．所以k的可能值个数是2.

→

11．32 [解析] P1P2＝(2＋sinθ－cosθ，2－cosθ－sinθ)， →

|P1P2|＝10－8cosθ≤18＝32. 12．(1)(4)(5) [解析] (1)当p＝λq时，必然p∥q，充分性满足；反之，当p＝0时，有p∥q，但由q≠0且λ≠0知p＝λq不成立，必要性不满足，因此(1)符合；

(2)由定理可知m1n2－m2n1＝0是p∥q的充要条件，故一般情况下m1n1－m2n2＝0，既不是

3

p∥q的充分条件，也不是p∥q的必要条件；(3)理由同(2)；

m1m2

(4)由＝变形得，m1n2－m2n1＝0，故p∥q，反之，若p∥q，则有m1n2－m2n1＝0，但不

n1n2能保证推出m1n＝m2

，故(4)是p∥q的充分不必要条件；(5)理由同(4)．

1n2

13．[解答] 设点P的坐标为(x，y)，则→

AP＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)， →AB＋λ→

AC＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)] ＝(3＋5λ，1＋7λ)． 由→AP＝→AB＋λ→AC得 ???x－2＝3＋5λ， ?x＝5＋5λ，??y－3＝1＋7λ????

?

y＝4＋7λ，∴点P坐标为(5＋5λ，4＋7λ)．

(1)若点P在第一、三象限角平分线上， 则5＋5λ＝4＋7λ，

∴λ＝12

. (2)若点P在第三象限内，则5＋5λ<0且4＋7λ<0， ∴λ<－1.

14．[解答] 设→

OM＝ma＋nb(m，n∈R)， 则→AM＝→OM－→

OA＝(m－1)a＋nb， →AD＝→OD－→OA＝1

2

b－a.

因为A、M、D三点共线，所以→AM与→

AD共线，所以m－1n－1＝1

.即m＋2n＝1，

2

又→CM＝→OM－→OC＝??1?m－4???a＋nb，

→CB＝→OB－→

OC＝－14

a＋b，

因为C、M、B三点共线，所以→CM与→

CB共线，

m－1所以4＝n，－11

4

即4m＋n＝1，

?m＝1

，由???

m＋2n＝1，?4m＋n＝1解得??

?7??n＝3

7.

∴→OM＝1

7a＋37

b.

15．[解答] (1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，

于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝1

4

. (2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2

＝5，

4

所以1－2sin2θ＋4sin2

θ＝5，

从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，

于是sin??π?

2θ＋4??2?＝－2. 又由0<θ<π知，ππ9π

4<2θ＋4<4

，

所以2θ＋π5ππ7π

4＝4，或2θ＋4＝4. 因此θ＝π3π

2或4

. 16．[解答] (1)证明：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则 ma＋nb＝(ma1＋nb1，ma2＋nb2)，故

f(ma＋nb)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1) ＝m(a2,2a2－a1)＋n(b2,2b2－b1)， ∴f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)．

(2)由已知得f(a)＝(1,2－1)＝(1,1)， f(b)＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．

(3)设c＝(x，y)，则f(c)＝(y,2y－x)＝(p，q)， 根据相等向量的坐标相等得：

y＝p，x＝2p－q，即c＝(2p－q，p)． 5