北师大版八年级数学上册第一章回顾与思考教学设计

第一章《勾股定理》回顾与思考

教学目标：

①让学生回顾本章的知识，同时重温这些知识尤其是勾股定理的获得和验证的过程，体会勾股定理及其逆定理的广泛应用．

②在回顾与思考的过程中，提高解决问题，反思问题的能力．

③在反思和交流的过程中，体验学习带来的无尽的乐趣．通过对勾股定理历史的再认识，培养爱国主义精神，体验科学给人来带来的力量．

教学过程 第一 情境引入

勾股定理，我们把它称为世界第一定理．它的重要性，通过这一章的学习已深有体验，首先，勾股定理是数形结合的最典型的代表；其次，了解勾股定理历史的同学知道，正是由于勾股定理得发现，导致无理数的发现，引发了数学的第一次危机，这一点，我们将在《实数》一章里讲到，第三，勾股定理中的公式是第一个不定方程，有许许多多的数满足这个方程，也是有完整的解答的最早的不定方程，最为著名的就是费马大定理，直到1995年，数学家怀尔斯才将它证明．

勾股定理是我们数学史的奇迹，我们已经比较完整地研究了这个先人给我们留下来的宝贵的财富，这节课，我们将通过回顾与思考中的几个问题更进一步了解勾股定理的历史，勾股定理的应用．

第二 知识结构梳理

本章知识要点及结构：

（第1—6题由学生独立思考完成，小组代表展示）

1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a,b和

c分别表示直角三角形的直角边和斜边，那么__________?c．

2．勾股定理各种表达式：

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边也分别为a,b,c，则

2c=_________，b=_________，c=_________．

3．勾股定理的逆定理：

在△ABC中，若a,b,c三边满足___________，则△ABC为___________． 4．勾股数：

满足___________的三个___________，称为勾股数．

5．几何体上的最短路程是将立体图形的________展开，转化为_________上的路程问题，再利用___________两点之间，___________解决最短线路问题．

6．直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系？ （教师引导，小组讨论、总结）

从边的关系来说，当然就是勾股定理；从角度的关系来说，由于直角三角形中有一个特殊的角即直角，所以直角三角形的两个锐角互余．

直角三角形作为一个特殊的三角形．如果又有一个锐角是30?，那么30?的角所对的直角边时斜边的一半．

7．举例说明，如何判断一个三角形是直角三角形．

判断一个三角形是直角三角形可以从角、边两个方面去判断． （1）从定义即从角出发去判断一个三角形是直角三角形．

例如：①在△ABC中，?B?75?，?C?15?，根据三角形的内角和定理，可得?A?90?，根据定义可判断△ABC是直角三角形．

?A?②在△ABC中，

11?A?30?，?B??C，由三角形的内角和定理可知，

23?B?2?A?60?，?C?3?A?90?，△ABC是直角三角形．

（2）从边出发来判断一个三角形是直角三角形．其实从边来判断直角三角形它的理论依据就是判定直角三角形的条件（即勾股定理的逆定理）．

例如：①△ABC的三条边分别为a?7，b?25，c?24，而

22222a?c?7?24?625?25?b，根据勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角

形，但这里要注意的是b所对的角?B?90?．

②在△ABC三条边的比为a:b:c?5:12:13，△ABC是直角三角形． 8．通过回顾与思考中的问题的交流，由同学们自己建立本章的知识结构图． （小组内展示自己总结的知识框图，相互交流完善知识框图；每个小组选取一名代表，展示本组的知识框图．）

第三 合作探究

探究一：利用勾股定理求边长

已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长的平方． 解：（1）当两直角边为3和4时，第三边长的平方为25； （2）当斜边为4，一直角边为3时，第三边长的平方为7． 探究二：利用勾股定理求图形面积： 1．求出下列各图中阴影部分的面积．

2250.360.64(1)144(2)2

1 _ 3 ()

图（1）阴影部分的面积为＿＿＿＿；（答案：1） 图（2）阴影部分的面积为＿＿＿＿；（答案：81） 图（3）阴影部分的面积为＿＿＿＿；（答案：5）

2． 已知Rt△ABC中，?C?90?，若a?b?14cm，c?10cm，求Rt△ABC的面积．

解：S?ABC??11ab??2ab241222?(a?b)?(a?b)???4122???(a?b)?c??41??(142?102)4?24.

探究三：利用勾股定理逆定理判定△ABC的形状或求角度

1. 在△ABC中，?A，?B，?C的对边分别为a，b，c，且(a?b)(a?b)?c则（ ）.

2，

（A）?A为直角 （B）?C为直角 （C）?B为直角 （D）不是直角三角形

解：a2?b2?c2，∴a2?b2?c2．故选（A）.

2．已知△ABC的三边为a，b，c，有下列各组条件，判定△ABC的形状． （1）a?41，b?40，c?9；

2222（2）a?m?n，b?m?n，c?2mn（m?n?0）．

解：（1）（2）均为直角三角形． 探究四：勾股定理及逆定理的综合应用：

B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60?方向以每小时8 n mile的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15 n mile的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34 n mile，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？

解：甲船航行的距离为BM=8?2?16（n mile）， 乙船航行的距离为BP=15?2?30（n mile）． ∵162?302?1156,342?1156，∴BM2?BP2?MP2，

∴△MBP为直角三角形，∴?MBP?90?，∴乙船是沿着南偏东30?方向航行的．

第四 拓展提升

我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由“弦图”变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是 ．

（答案为10） 3第五 课堂小结

师生相互交流总结：

1.本章知识要点及在学习中用到了哪些数学思想方法？

2．你在学习过程中是否积极参与？是否与同伴进行了有效的合作交流？

第六 布置作业

1．课本《复习题》．

2．思考题：一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2 m，坡角?A?30?，?B?90?，BC?6m．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE＝ 错误！未找到引用源。m时，有DC2?AE2?BC2．

（答案为：

14错误！未找到引用源。．） 3