辽宁省沈阳市大东区2017-2018学年高三下学期高考模拟数学(文)试卷 Word版含解析

分层抽样，并完成一项实验，实验方法是，使两组学生记忆40个无意义音节（如xIQ、GEH），均要求在刚能全部记清时就停止识记，并在8小时后进行记忆测验．不同的是，甲组同学识记结束后一直不睡觉，8小时后测验；乙组同学识记停止后立刻睡觉，8小时后叫醒测验．两组同学识记停止8小时后的准确回忆（保持）情况如图（区间含左端点而不舍右端点）

（1）估计1000名被调查的学生中识记停止后8小时40个音节的保持率大于等于60%的人数；

（2）从乙组准确回忆结束在|12，24）范围内的学生中随机选3人，记能准确回忆20个以上（含20）的人数为随机变量x．求X分布列及数学期望； （3）从本次实验的结果来看，上述两种时间安排方法中哪种方法背英语单词记忆效果更好？计算并说明理由．

考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图． 专题：概率与统计． 分析：（1）利用频率分布直方图能求出1000名被调查的学生中识记停止8小时后40个音节保持率大于等于60%的人数为180人．

（Ⅱ）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX． （Ⅲ）分别求出甲组学生的平均保持率和乙组学生平均保持率，由此得到临睡前背单调记忆效果更好． 解答： 解：（1）∵1000×5%=50，

由甲图知，甲组有4+10+8+4+2+1+1=30（人）， ∴乙组有20人， 又∵40×60=24，

∴识记停止8小时后，40个音节的保持率大于等于60%的在甲组有1人， 乙组有（0.0625+0.0375）×4×20=8（人）， ∴（1+8）÷5%=180，

即估计1000名被调查的学生中识记停止8小时后40个音节保持率大于等于60%的人数为180人．

（Ⅱ）由乙图知，乙组在[12，24）之间有（0.025+0.025+0.075）×4×20=10（人）， 在[20，24）有0.075×4×20=6（人）， ∴X的可能取值为0，1，2，3，

P（X=0）==，

P（X=1）==，

P（X=2）==，

P（X=3）==，

∴X的分布列为： X 0 1 2 P

∴EX=

=．

（Ⅲ）甲组学生准确回忆音节共有：2×4+6×10+10×8+14×4+18×21+22×1+26×1=288个， ∴甲组学生的平均保持率为：

．

乙组学生准确回忆音节数共有：

（6×0.0125+10×0.0125+14×0.025+18×0.025+22×0.075+26×0.0625+30×0.0375）×4×20=432个，∴乙组学生平均保持率为

＞0.24，

∴临睡前背单调记忆效果更好．

点评：本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题是中档题．

20．如图，已知椭圆

=1（a＞b＞0）的离心率为

，以该椭圆上的点和椭圆的左、

右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4（+1），一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D．（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；

（Ⅱ）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明k1?k2=1； （Ⅲ）（此小题仅理科做）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|?|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

3

考点：圆锥曲线的综合；直线与圆锥曲线的综合问题．

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．

分析：（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为=，及椭圆的定义得到又2a+2c=，

解方程组即可求得椭圆的方程，等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点可求得该双曲线的方程； （Ⅱ）设点P（x0，y0），根据斜率公式求得k1、k2，把点P（x0，y0）在双曲线上，即可证明结果；

（Ⅲ）设直线AB的方程为y=k（x+2），则可求出直线CD的方程为y=（x﹣2），联立直线和椭圆方程，利用韦达定理，即可求得|AB|，|CD|，代入|AB|+|CD|=λ|AB|?|CD|，求得λ的值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为=得，又2a+2c=，

222

所以可解得，c=2，所以b=a﹣c=4， 所以椭圆的标准方程为

；

，

所以椭圆的焦点坐标为（±2，0），

因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点， 所以该双曲线的标准方程为（Ⅱ）设点P（x0，y0）， 则k1=

，k2=

，

．

∴k1?k2=

=，

又点P（x0，y0）在双曲线上， ∴

，即y0=x0﹣4，

2

2

∴k1?k2=

=1．

（Ⅲ）假设存在常数λ，使得得|AB|+|CD|=λ|AB|?|CD|恒成立， 则由（II）知k1?k2=1，

∴设直线AB的方程为y=k（x+2），则直线CD的方程为y=（x﹣2），

由方程组消y得：（2k+1）x+8kx+8k﹣8=0，

2222

设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则由韦达定理得，

，

∴AB=同理可得

=，

CD===，

∵|AB|+|CD|=λ|AB|?|CD|， ∴λ=

=

﹣

=

=

，

∴存在常数λ=，使得|AB|+|CD|=λ|AB|?|CD|恒成立．

点评：本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置

关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．其中问题（III）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．

21．已知函数，f（x）=xlnx，g（x）=ax﹣bx其中a，b∈R

（Ⅰ）若f（x）≥﹣x+ax﹣6在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）当b=﹣a时，若f（x）≤g（x﹣1）对x∈（1，+∞）恒成立，求a的最小值．

考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 专题：导数的综合应用．

2

2

分析：（Ⅰ）原不等式等价于，设g（x）=lnx+x+，则当x∈（0，2）时g′（x）

＜0，函数g（x）单调递减；当x∈（2，+∞）时g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；所以实数a的取值范围为（﹣∞，5+ln2]； （Ⅱ）当

时，构造函数

，则

G′（x）=lnx﹣ax+1，由题意有G（x）≤0对x∈（1，+∞）恒成立，分a≤0、a≥1、0＜a＜1三种情况讨论即得a的最小值为1．

2

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）≥﹣x+ax﹣6，f（x）=xlnx，