数值天气预报 习题

第一章 习题

1. 试证明球坐标系中单位矢量i的个别变化率为。

??diu?sin?j?cos?k dtrcos?

??2. 试说明局地直角坐标系(即z坐标系)中的运动方程与球坐标系中的运动方程有何异同? 3. 在等压面p与p??p之间有一气柱,其横截面积为?x?y,气柱内的空气质量为?M。试根据该气柱在运动过程中其质量守恒的原理导出P坐标系中的连续方程为

?u?v?w???0?x?y?p

4. 应用?x,y,z,t?、?x,y,p,t?两坐标系因变量F偏微商的转换关系式（1.69）和（1.78）证明

?dF??dF??????dtdt?z??p ?5. 应用?x,y,p,t?、?x,y,?,t?两坐标系因变量偏微商的转换关系式（1.113）和（1.117）把P坐标系中的连续方程

?u?v?w???0 ?x?y?p

转换到?坐标系中去。

6. 应用?坐标系中的连续方程（1.126）把该坐标系中分量形式的水平运动方程写成通量形式。

7. 已知小尺度运动系统龙卷的物理变量特征尺度为：L~10米，D~10米，U~50米

?1?hp~40百帕。W~1米?秒?1，?秒，应用尺度分析方法简化运动方程（1.132）~（1.134），

24使其适用于龙卷尺度的运动。对于这种小尺度运动，流体静力近似是否成立？

8. 已知中尺度运动系统台风的物理变量特征尺度为：L~10米，D~10米，U~100米?秒

?154，W~10米?秒

?1，

?hp~40百帕。应用尺度分析方法简化运动方程（1.123）~

（1.134），使其适用于台风尺度的运动。对于这种中尺度运动，流体静力近似是否成立？ 9. 试说明涡度方程（1.149）中辐散项、倾斜项和力管项引起涡度局地变化的物理机制。 10. 涡度方程（1.170）有哪几种简化形式，它们各有什么特点？

11. 散度方程（1.175）有哪几种简化形式？它们各有什么特点？它们描述了哪些物理量场之间的平衡关系？

第二章 习题

1. 在与60°N相割的极射赤面投影映像平面图上制作正方形网格(参见书P84图2.14),网格

p?In??4,Jn?8?的地图放大系数和科里奥利参数。 距d=500公里,试求点

2. 在与30°N和60°N相割的兰勃脱投影映像平面图上制作正方形网格(参见书P85图2.15),

p?In?5,Jn?15?的地图放大系数和科里奥利参数。 网格距d=300公里,试求点

3. 在与22.5°N和22.5°S相割的墨卡托投影映像平面图上制作正方形网格(参见书P85图

p?Je?3?的地图放大系数和科里奥利参数。 2.16),网格距d=200公里,试求点

4. 试把运动方程（2.49）由普遍的正交曲线坐标系变换到普遍的地图投影?X,Y,Z,t?坐标系。

5. 试由普遍的正交曲线坐标系中的连续方程（2.52）导出球坐标系中的连续运动方程。

第三章 习题

1. 什么是差分格式的收敛性和稳定性？二者之间有何关系？

2. 什么是差分格式的耗散性、色散性和守恒性？它们对数值解有何影响？ 3. 试证明一阶偏微商?u?x的三点差商近似式

3?uin?1?uin?1??3uin?4uin?1?uin?2???u??????????R2?x??x?i2??x?2??

的截断误差R为O?xn??。

24R?O?x4. 假定用如下的五点公式表示一阶空间导数，试证明其截断误差为

??4uin?1?uin?11uin?2?uin?2??u???R???34?x??x?i32?x

5. 时间微商用前差格式、空间微商用后差格式写出一维线性平流方程

n?u?u?c?0?t?x

的有限差分格式，并应用冯—纽曼方法证明该格式的线性稳定性。 6. 时间微商用前差格式、空间微商用中央差格式构造微分

?u?u?u?a?b?0?t?x?y

的有限差分格式，并应用冯—纽曼方法证明该格式的线性稳定性。 7. 试论述常用的克服非线性计算不稳定的有效方法。

第四章 习题

1. 试证明差分格式（4.42）是平流方程（4.35）的一次守恒格式。 2. 试证明差分格式（4.47）是平流方程（4.46）的二次守恒格式。 3. 试把二次守恒平流格式（4.57）展开成可以进行数值计算的形式。 4. 导出正压原始方程的有限差分方程（4.80）的频率方程和群速公式。 5. 写出正压原始方程组（4.95）的半隐式差分格式，并说明其具体求解步骤。 6. 设一维变量

Fi可表示为如下的谐波： ?Fi?C?Fcos?kxi???

?F式中、k和?分别为谐波的振幅、波数和位相，而C为一常数。试证明：当平滑系数SF取12时，应用空间平滑运算（4.119）可以完全滤除i中波长为2?x的短波波动。

nFi7. 设一维变量可表示为如下的谐波：

?F式中、k、?和?分别为谐波的振幅、波数、圆频率和初位相，而C为一常数。试证

明：当平滑系数S取12时，应用空间平滑运算

?Fi?C?Fcoskxi??tn??

n??S~tFin??1?S?Fin?Fin?1?Fin?12

??nF可以完全滤除i中周期为2?t的高频振动。

8. 在兰勃脱投影天气底图上，选取的预报区域内共有M?N个网格点，网格是均匀的，

?ID,JnD?。试编制一个计算

网格距为D，预报区域左下角的格点相对于北极点的坐标为n各网格点的地图放大系数RM?I,J?和科里奥利参数F?I,J?的子程序。

9. 已知预报区域内M?N个网格点的初始位势高度ZA?I,J?、地图放大系数RM?I,J?和科氏参数F?I,J?，网格距取为D。在预报区域的内点采用中央差分格式、在边界点采用向前或向后差分格式，试编制一个计算各网格点的初始地转风分量UA?I,J?和VA?I,J?的子程序。

10. 已知预报区域内M?N个网格点的初始位势高度ZA?I,J?，初始地转风UA?I,J?和

VA?I,J?，地图放大系数RM?I,J?和科氏参数F?I,J?，时间步长取DT，空间步长取D，

采用固定的水平侧边界条件，应用正压原始方程组的二次守恒平流格式（4.57）（略去放大系数的水平变化）编制一个时间积分子程序，并要求该子程序具有实施时间前差、中央差和欧拉—后差等时间积分方案的功能。

11. 已知预报区域内M?N个网格点上某一时间层的位势高度ZB?I,J?，应用五点平滑公式（4.126）编制一个在预报区域内点对ZB?I,J?进行空间平滑的子程序。 12. 已知预报区域内M?N个网格点上第一，第二和第三时间层的位势高度分别为

ZA?I,J?，ZB?I,J?和ZC?I,J?，应用时间平滑公式（4.141）编制一个在预报区域内点

对位势高度场进行时间平滑的子程序。

13. 在M?N个网格点上，24小时预报的位势高度为ZC?I,J?，试编制一个绘制位势高度等值线的子程序。等值线的最小值和最大值分别取500和600位势什米，等值线增量取4位势什米。

第五章 习题

1. 试导出?坐标系中的气压梯度力所做的功率。 2. 若不考虑地形作用恒：

??s?0?，试证明大气的绝对角动量M?rcos??u??rcos??守

??2pMrcos?d?d?d??0????t

3. 试推导

??t?A??10p?cpTd???spsdA??p?V???????p?d?????

?p?p?ps?pT，pT为模式顶气压。 ss式中为地形高度，为地面气压，

4.试证明差分方程组（5.160）~（5.166）保持微分方程组（5.151）~（5.157）所具有的质量守恒和总能量守恒的积分性质。

第六章 习题

1. 赤道附近地转偏向力很小，地转关系不适用。请给出一个新的协调风场与气压场的静力初始化关系。

2. 简要叙述动力初始化的基本思想，主要步骤。如何加速动力初始化的过程? 3. 请论述四维同化的必要性，扼要地介绍四维同化的几种主要方法。 4. 请说明海绵边界条件为何能吸收向外传播的波动能量。

5. 概括地叙述套网格预报的几种方法，套网格预报方法的优点，它们还存在什么问题？