计算教学中的创新思维培养之六 - 图文

发表于《小学数学教师》2011年第10期

三位数除以一位数

从教学序列上看，从三位数除以一位数笔算起，学生开始真正学习多位数除以一位数。学生掌握了计算三位数除以一位数的方法，就能迁移到位数更多的多位数除以一位数的计算中去。

三位数除以一位数的竖式计算，主要由运算顺序的确定、分步运算结果的定位、运算最终结果的形成三个步骤构成，计算过程可以看作由一位数除两位数（或一位数）复合而成的。但是这种复合既不是几个相互独立的计算程序的叠加，更不像算完一个算式再算另一个算式那样简单，因为复合之后带来了确定除的顺序和商的定位等新情况，这些构成了三位数除以一位数的学习难点，同时又是教学的重点。

一、三位数除以一位数的类型分析 根据竖式计算的内部结构，可以把三位数除以一位数划分成不同的类型，以区分不同的学习难点和教学侧重，并为设计教学思路提供可靠的依据。

粗略地看，三位数除以一位数，可以分为被除数首位不够除与够除两类，与此相对应，商分别是两位数和三位数。应当先学习首位够除的还是首位不够除的，不同教材编排的顺序并不相同。这里从两位数除以一位数的除法入手，并联系学生已有的基础进行分析。

两位数除以一位数的除法（除数是1的除外），首位够除的共360题，其中带余除法有254题，约占70.6%；首位不够除的共360题，其中带余除法有302道，约占83.9%。两类合计，涉及带余除法的约占77.2%左右。如果把首位够除的第二次商考虑在内，带余除法所占的比例会有增加。由此可以想见，在三位数除以一位数的计算中，出现带余除法的比例也很高。此外，学生在学习三位数除以一位数之前，已经学习了表内带余除法的竖式计算，可以作为学习三位数除以一位数的直接基础，试商的方法也可以较快地迁移过来。

三位数除以一位数，被除数首位不够除的共有3600道题，其中能归结为表内除法的几百几十数或整百数除以一位数的有58道题，如640÷8，300÷6，这些题目可以从“九九表”直接找到商。其余3542题都是由几百几十数（或整百数）除以一位数与表内除法（含带余除法）组合而成。如

738÷9 574÷6 720÷9 540÷6 18÷9 34÷6

被除数首位够除的也有3600题，这些题目也可以进行类似的拆分。如 738÷6 574÷5 720÷6 550÷5 18÷6 24÷5

在计算几百几十数除以一位数的环节，首位不够除都是“表内”除法，而首位够除的都是“表外”除法。从这样的角度进行比较，首位不够除的这类题计算更为简单，应当安排在首位够除的学习之前。

从前面那样的拆分过程中可以看出，计算三位数除以一位数的关键是根据除数从被除数中分解出几百几十数（或整百数）和两位数。特别地，拆分不仅是计算过程中重要的思考环节，也是培养学生数感的重要训练，因为拆分的核心是思考数与数之间的关系。以336÷□为例，如果除数是6，分解为300÷6与36÷6；如果除数是7，则分解为280÷7与56÷7；如果除数是9，则分解为270÷9与66÷9，等等。

二、三位数除以一位数的教学思路

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1.被除数首位不够除

如前所述，三位数除以一位数计算的关键是把被除数进行拆分，把这个思考的过程设计成教学思路，就是 “在组合中引进，在分解中展开”。例如，320÷4＝80与8÷4＝2都是学生熟悉的计算，把这两个计算组合在一起，就不难得出328÷4＝82。这就是“在组合中引进”。

82 320÷4＝80

8÷4＝2 4）328

32 328÷4＝82

8

8

0 把上面横式的计算过程与竖式进行比较，不难发现横式计算的三个步骤分别对应于竖式中十位与个位的商以及最后结果。因此，横式计算的思考过程本质上与竖式计算是一致的，利用横式记录的组合过程可以加深对竖式计算程序的理解。

教学的序列是，先出现被除数的百位和十位都能整除的，这种计算比较简单，不需要处理余数的问题，这样可以集中精力突破除的顺序与商的定位问题。在此基础上，学习被除数的百位或十位除后带余的。计算时先把被除数进行拆分，“在分解中展开”计算过程。如

548÷7＝ 552÷8＝

490÷7＝ 480÷8＝

58÷7＝ … 72÷8＝

□□ □□

8）5 5 2 7）5 4 8

□□ □□

□□ □□

□□ □□

□ □ 横式突出了组合或分解的过程，其优点是计算的步骤和数的位值都很显然，竖式计算是

思考被压缩的计算过程，它的优点是简约，缺点是不容易被学生理解。在学生学习的初始阶段，可以让横式与竖式并列呈现，发挥横式计算对竖式计算的支持作用。具体地说，就是让学生找出横式的计算步骤与竖式计算过程的对应关系，重点突破除的顺序问题，并理解竖式计算过程中被隐藏的位值。

在正式学习三位数除以一位数之前，还需要先进行铺垫训练， 如， 322＝280+ 552＝480+ 280÷7＝ 480÷8＝ 42÷7＝ 72÷8＝ 这种训练是“从组合中引进”的重要基础，计算之后可以进一步引导学生观察式与式之间的关系，学生经历的这种思考过程，可以为探索三位数除以一位数的计算方法积累思维经验。

在具体情境中引入新知的学习，是计算教学中普遍采用的方法。但是，为什么要创设情境呢？情境的作用有很多，如让学生感知新知应用的具体场景，了解新知识学习的价值，体会数学与生活的联系等等。如果设计情境的目的只是停留在这些层面，那么情境在教学中所起的作用仅仅是引入新知的学习。下面这个学习三位数除以一位数的问题情境设计，除了作

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为“引子”之外，还有“弦外之音”，即利用情境支持学生对算理的理解。如下图：

先算每辆车坐学生的人数，再算每辆车坐老师的人数，情境本身提示了两步计算的思路。即使在计算出结果之后，也可以引导学生由算式再回到情境中去寻找具体的意义。

2.被除数首位够除

被除数首位够除的三位数除以一位数，以两位数除以一位数商是两位数的作为基础，着重讲清要把十位上除得的余数与个位上的数合起来继续除的道理。借助两位数除以一位数与几百几十数除以一位数的类比作为中介，从两位数除以一位数过渡到三位数除以一位数。如，

15 150 45÷3＝ 3）45 3）450 30÷3＝10 3 3 15÷3＝5 15 15 15 15 0 0

类比着重突出两位数与相应的几百几十数除以一位数的相似性，主要是引导学生理解除的顺序与商的定位方法相同。以这个类比作为过渡，进一步学习三位数除以一位数的计算方法。如， 13 136 139 3）41 3）410 3）417 3 3 3 11 11 11 9 9 9 2 20 27 18 27 2 0

被除数首位够除的，会出现十位上不够商1，商的十位要补0的情况。如624÷6＝104。为了强化商中间用0来占位,可以指导学生根据除数与被除数首位的大小来估计商的位数。即被除数的首位大于除数，则商的位数与被除数的位数相同；被除数的首位小于除数，则商的位数比被除数的位数少1。

无论是“在组合中引进”，还是“在分解中展开”，目的都是为了帮助学生更好地理解算理和掌握算法。教学经验表明，如果学生对算法一知半解，那么他们在实际应用过程中就会出现各种各样的错误；如果学生对算理缺乏理解，那么计算时可能只是关注纯粹的数字运算，而不是数字的实际数值，并且在得到计算结果之后就会停步不前，不会去检验计算过程的合理性。

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三、三位数除以一位数的思考性训练

三位数除以一位数的思考题性训练，主要从两个方面设计：一是联系不同的问题情境，改变总是直接呈现算式进行计算的面貌；二是把判断与推理、数感训练等结合进来，打破总是按规定程序进行计算的格局。

1.数形结合归一思路的训练

①如果 ＝295,那么 表示多少？ ②

2.代数思维的训练 ①求图形所表示的数。

6×▲+120＝426 852-●×8＝556 ●×4+●×3＝105 12×▲-7×▲＝145 ②等量替换。

3.问题变式的训练 ①和倍问题。

八张卡片的和是（7+14）×4＝84，三张卡片之和为84÷（1+2）＝28，和为28的一组分别有：12+9+7＝28,11+10+7＝28,11+9+8＝28,13+7+8＝28。

②两商之差问题。

一个长方体铁块比一个立方体铁块重多少千克？

4.探索规律的训练

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三个数字和为9的共六组：0+1+8， 0+2+7，0+3+6，1+2+6，1+3+5，2+3+4。再以0+1+8＝9为例，810÷9＝90,801÷9＝89,180÷9＝20,108÷9＝12,81÷9＝9,18÷9＝2。90+89+20+12+9+2＝222。和为9的三个数字所组成的六个三位数，分别除以9,所得商的和为222。

5.数字谜的训练 ①横式数字谜。

5□3÷□＝□□，要使商是两位数，余数是0, □里的数怎样填？

被除数的个位是3,7×9＝63,除数与商的十位分别是7,9,513÷9＝57,553÷7＝79。 ②竖式数字谜。

2 □□ □）□□□ □2 □□ □□

0 此题共73个解。

商的十位与除数相乘，积的末位是2，有以下同种情况：

×6＝12，3×4＝12，4×8＝32，6×7＝42，8×9＝72。

除数与商的十位上的数列表如下： 类别 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 商的十位 2 6 3 4 4 8 6 7 8 9 除数 6 2 4 3 8 4 7 6 9 8 33