因式分解分类练习题(经典全面)31314

3、已知：a、b、c为△ABC的三边，且a2?b2?c2?ab?bc?ac?0， 由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即

2+3=5。

判断三角形的形状，并说明理由。

因式分解习题(三)

十字相乘法分解因式

(1)对于二次项系数为1的二次三项式x2?(a?b)x?ab?(x?a)(x?b) 方法的特征是“拆常数项，凑一次项”

当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同； 当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．

(2)对于二次项系数不是1的二次三项式

ax2?bx?c?a1a2x2?(a1c2?a2c1)x?c1c2?(a1x?c1)(a2x?c2) 它的特征是“拆两头，凑中间”

当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项； 常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；

常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同

注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母． 二、典型例题 例5、分解因式：x2?5x?6

分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

1 2

解：x2?5x?6=x2?(2?3)x?2?3 1 3 =(x?2)(x?3) 1×2+1×3=5

用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

例1、分解因式：x2?7x?6

解：原式=x2?[(?1)?(?6)]x?(?1)(?6) 1 -1

=(x?1)(x?6) 1 -6 （-1）+（-6）= -7

练习1、分解因式

(1)x2?14x?24 (2)a2?15a?36 (3)x2?4x?5

练习2、分解因式

(1)x2?x?2 (2)y2?2y?15 (3)x2?10x?24

（二）二次项系数不为1的二次三项式—— ax2?bx?c 条件：（1）a?a1a2 a1 c1

（2）c?c1c2 a2 c2 （3）b?a1c2?a2c1 b?a1c2?a2c1

分解结果：ax2?bx?c=(a1x?c1)(a2x?c2)

例2、分解因式：3x2?11x?10

分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11 解：3x2?11x?10=(x?2)(3x?5) 练习3、分解因式：

（1）5x2?7x?6 （2）3x2?7x?2

（3）10x2?17x?3 （4）?6y2?11y?10

（三）多字母的二次多项式 例3、分解因式：a2?8ab?128b2

分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b

解：a2?8ab?128b2=a2?[8b?(?16b)]a?8b?(?16b) =(a?8b)(a?16b) 练习4、分解因式

(1)x2?3xy?2y2 (2)m2?6mn?8n2 (3)a2?ab?6b2

例4、2x2?7xy?6y2 例10、x2y2?3xy?2 1 -2y 把xy看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式=(x?2y)(2x?3y) 解：原式=(xy?1)(xy?2)

练习5、分解因式：

（1）15x2?7xy?4y2 （2）a2x2?6ax?8

综合练习10、

（1）8x6?7x3?1 （2）12x2?11xy?15y2

（3）(x?y)2?3(x?y)?10 （4）(a?b)2?4a?4b?3

（5）x2y2?5x2y?6x2 （6）m2?4mn?4n2?3m?6n?2

（7）x2?4xy?4y2?2x?4y?3 （8）5(a?b)2?23(a2?b2)?10(a?b)2

（9）4x2?4xy?6x?3y?y2?10 （10）12(x?y)2?11(x2?y2)?2(x?y)2

思考：分解因式：abcx2?(a2b2?c2)x?abc

例5 分解因式：(x2?2x?3)(x2?2x?24)?90．

例6、已知x4?6x2?x?12有一个因式是x2?ax?4，求a值和这个多项式的其他因式．

课后练习 一、选择题

1．如果x2?px?q?(x?a)(x?b)，那么p等于 ( )

A．ab B．a＋b C．－ab D．－(a＋b)

2．如果x2?(a?b)?x?5b?x2?x?30，则b为 ( )

A．5 B．－6 C．－5 D．6

3．多项式x2?3x?a可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值分别为 ( )

A．10和－2 B．－10和2 C．10和2 D．－10和－2 4．不能用十字相乘法分解的是 ( )

A．

x2?x?2 B．3x2?10x2?3x C．4x2?x?2 D．5x2?6xy?8y25．分解结果等于(x＋y－4)(2x＋2y－5)的多项式是 ( )

A．2(x?y)2?13(x?y)?20 B．(2x?2y)2?13(x?y)?20

C．2(x?y)2?13(x?y)?20 D．2(x?y)2?9(x?y)?20 6．将下述多项式分解后，有相同因式x－1的多项式有 ( )

①x2?7x?6； ②3x2?2x?1； ③x2?5x?6； ④4x2?5x?9； ⑤15x2?23x?8； ⑥x4?11x2?12 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题

7．x2?3x?10?__________．

8．m2?5m?6?(m＋a)(m＋b)． a＝__________，b＝__________． 9．2x2?5x?3?(x－3)(__________)． 10．x2?____?2y2?(x－y)(__________)．

11．a2?nma?(_____)?(____?____)2． 12．当k＝______时，多项式3x2?7x?k有一个因式为(__________)． 13．若x－y＝6，xy?1736，则代数式x3y?2x2y2?xy3的值为__________． 三、解答题

14．把下列各式分解因式：

(1)x4?7x2?6； (2)x4?5x2?36； (3)4x4?65x2y2?16y4；

(4)a6?7a3b3?8b6； (5)6a4?5a3?4a2； (6)4a6?37a4b2?9a2b4．

15．把下列各式分解因式：

(1)(x2?3)2?4x2； (2)x2(x?2)2?9；

(3)(3x2?2x?1)2?(2x2?3x?3)2； (4)(x2?x)2?17(x2?x)?60；

(5)(x2?2x)2?7(x2?2x)?8； (6)(2a?b)2?14(2a?b)?48．

16．已知x＋y＝2，xy＝a＋4，x3?y3?26，求a的值．

十字相乘法分解因式(任璟编)

题型(一)：把下列各式分解因式

⑴x2?5x?6 ⑵ x2?5x?6 ⑶(x?y)2?8(x?y)?20 ⑷(x?y)2?3(x?y)?28

⑸(x?y)2?9(x?y)?14 ⑹(x?y)2?5(x?y)?4

⑶x2?5x?6 ⑷x2?5x?6

⑸a2?7a?10 ⑹b2?8b?20

⑺a2b2?2ab?15 ⑻a4b2?3a2b?18

题型(二)：把下列各式分解因式

⑴a2?4ab?3b2 ⑵x2?3xy?10y2

⑶a2?7ab?10b2 ⑷x2?8xy?20y2 ⑸x2?2xy?15y2 ⑹x2?5xy?6y2

⑺x2?4xy?21y2 ⑻x2?7xy?12y2

题型(三)：把下列各式分解因式

⑴(x?y)2?4(x?y)?12 ⑵(x?y)2?5(x?y)?6

⑺(x?y)2?6(x?y)?16

题型(四)：把下列各式分解因式

⑴(x2?3x)2?2(x2?3x)?8

⑶3x3?18x2y?48xy2

⑸(x2?2x)(x2?2x?7)?8

⑺ x2y?3xy2?10y3 ⑻(x?y)2?7(x?y)?30 ⑵(x2?2x)(x2?2x?2)?3 ⑷(x2?5x)2?2(x2?5x)?24 ⑹x4?5x2?4 ⑻a2b2?7ab3?10b4