高考调研数学11-1

选出1人后，这件“各选1人去献血”的事情才完成，所以用分步计数原理，共有28×7×9×3＝5292种不同的选法．

8．从{－3，－2，－1,0,1,2,3}中任取3个不同的数作为抛物线方程y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的系数，如果抛物线过原点且顶点在第一象限，则这样的抛物线共有多少条？

2

b4ac－b

解析 由抛物线过原点知c＝0，由(－2a，4a)在第一象限得

b??－2a>0?b2??－4a>0

??ab<0，

，??∴a<0，b>0，c＝0.

?a<0，?

由分步乘法计数原理． 得N＝3×3×1＝9.

即符合条件的抛物线有9条．

9．如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数．

解析 方法一 可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法原理即可得出结论．由题设，四棱锥S－ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相

同，它们共有5×4×3＝60种染色方法．

当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染色；若C染5，则D可染3或4，有2种染法．可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种染法，故不同的染色方法有60×7＝420种．

方法二 以S、A、B、C、D顺序分步染色． 第一步，S点染色，有5种方法；

第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法； 第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法； 第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S、B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法．由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3(1×3＋2×2)＝420种．

方法三 按所用颜色种数分类．

5

第一类，5种颜色全用，共有A5种不同的方法；

第二类，只有4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C，或B

4

与D)，共有2×A5种不同的方法；

3

第三类，只有3种颜色，则A与C、B与D必定同色，共有A5种

不同的方法．

43由分类加法计数原理，得不同的染色方法总数为A55＋2×A5＋A5

＝420种．