2014届高考数学大一轮复习（Word版题库含解析）2.4 二次函数与幂函数

2.4 二次函数与幂函数

一、选择题

1. 幂函数y?x的图象是（ ）

43

答案 A

2.已知幂函数f(x)的图象经过点(2,4),则f(x)的解析式为( ) A.f(x)?2x B.f(x)?x2 C.f(x)?2x D.f(x)?x?2

答案 B

??2，x≤2，

3．设f(x)＝?

??log2x－1，x＞2，

x－2

则f(f(5))＝( )．

A．－1 B．1 C．－2 D．2

??2，x≤2，

解析 由于函数f(x)＝?

?log2x－1，x＞2，?

－2

x－2

所以f(f(5))＝f[log2(5－1)]＝f(2)＝2

2

＝1.

答案 B

4．若x≥0，y≥0，且x＋2y＝1，那么2x＋3y的最小值为( )． 32

A．2 B. C. D．0

43解析 由x≥0，y≥0

2

x＝1－2y≥0知0≤y≤

t＝2x＋3y2＝2－4y＋3y2＝3?y－?2＋

3

12

??

2??

23

13?1?在?0，?上递减，当y＝时，t取到最小值，tmin＝. 24?2?答案 B

5．二次函数f(x)＝x－ax＋4，若f(x＋1)是偶函数，则实数a的值为( ) A．－1 C．－2

B．1 D．2

2

2

2

解析：由题意f(x＋1)＝(x＋1)－a(x＋1)＋4＝x＋(2－a)x＋5－a为偶函数， 所以2－a＝0，a＝2. 答案：D

2323525256.设a?（）,b?（），c?（），则a，b，c的大小关系是（ ）

555A.a＞c＞b B.a＞b＞c C.c＞a＞b D.b＞c＞a

答案：A

7 .函数f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)的图象关于直线x＝－对称．据此可推测，对任意的非

2a零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程m[f(x)]＋nf(x)＋p＝0的解集都不可能是( )． A．{1,2} B．{1,4} C．{1,2,3,4} D．{1,4,16,64}

解析 设关于f(x)的方程m[f(x)]＋nf(x)＋p＝0有两根，即f(x)＝t1或f(x)＝t2. 而f(x)＝ax＋bx＋c的图象关于x＝－对称，因而f(x)＝t1或f(x)＝t2的两根也关于x2a2

2

2

2

bbb4＋161＋64＝－对称．而选项D中≠.

2a22

答案 D 二、填空题

8．已知(0.7)<(1.3)，则实数m的取值范围是________．

解析：∵0<0.7<0.7＝1,1.3>1.3＝1， ∴0.7<1.3.而(0.7)<(1.3)，

∴幂函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，故m>0. 答案：(0，＋∞)

9．若函数y＝mx＋x＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．

2

1.3

0.7

1.3m0.7m1.3

0

0.7

0

1.3m0.7mmm>0??解析 由已知条件当m＝0，或?1

－≤－2??2m1

增函数，解得0≤m≤.

4

时，函数y＝mx＋x＋5在[－2，＋∞)上是

2

?1?答案 ?0，? ?4?

10．若方程x＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则实数k的取值范围是________．

2

f0>0，��??2

解析：设f(x)＝x＋(k－2)x＋2k－1，由题意知?f1<0，��

??f2>0，

2k－1>0，��??

?3k－2<0，��??4k－1>0，12答案：(，) 23

即

12解得

1??11．已知点(2，2)在幂函数y＝f(x)的图象上，点?－2，?在幂函数y＝g(x)的图象上，2??若f(x)＝g(x)，则x＝________.

1ααββ

解析 由题意，设y＝f(x)＝x，则2＝(2)，得α＝2，设y＝g(x)＝x，则＝(－2)，

2得β＝－2，由f(x)＝g(x)，即x＝x，解得x＝±1. 答案 ±1

2??，x≥2，

12．已知函数f(x)＝?x??x－13，x＜2.则实数k的取值范围是________． 解析 作出函数y＝f(x)的图象如图．

则当0＜k＜1时，关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根．

2

－2

若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，

答案 (0,1) 三、解答题

2m7

13．已知函数f(x)＝－x且f(4)＝－，

x2(1)求m的值；

(2)求f(x)的单调区间．

27mm解析：(1)f(4)＝－4＝－，∴4＝4.

422

∴m＝1.故f(x)＝－x.

x(2)由(1)知，f(x)＝2·x－x，

定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且为奇函数， 又y＝x，y＝－x均为减函数，

故在(－∞，0)，(0，＋∞)上f(x)均为减函数． ∴f(x)的单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．

14．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且f(x)>－2x的解集为{x|1

2

－1

－1

f(x)＋6a＝ax2－(4a＋2)x＋9a，Δ＝(4a＋2)2－36a2＝0

16a＋16a＋4－36a＝0,20a－16a－4＝0 5a－4a－1＝0，(5a＋1)(a－1)＝0， 1

解得a＝－，或a＝1舍去

5

1

因此f(x)的解析式为f(x)＝－(x－1)(x－3)．

5

15．已知二次函数f(x)有两个零点0和－2，且f(x)最小值是－1，函数g(x)与f(x)的图象关于原点对称．

(1)求f(x)和g(x)的解析式；

(2)若h(x)＝f(x)－λg(x)在区间[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围． 解析：(1)依题意，设f(x)＝ax(x＋2)＝ax＋2ax(a>0)． ∵f(x)图象的对称轴是x＝－1，

∴f(－1)＝－1，即a－2a＝－1，得a＝1. ∴f(x)＝x＋2x.

又∵函数g(x)的图象与f(x)的图象关于原点对称， ∴g(x)＝－f(－x)＝－x＋2x.

(2)由(1)得h(x)＝x＋2x－λ(－x＋2x) ＝(λ＋1)x＋2(1－λ)x.

①当λ＝－1时，h(x)＝4x满足在区间[－1,1]上是增函数；

2

2

2

2

2

2

22

2

2

λ－1

②当λ<－1时，h(x)图象对称轴是x＝，

λ＋1λ－1则≥1，又λ<－1，解得λ<－1； λ＋1λ－1

③当λ>－1时，同理则需≤－1，

λ＋1又λ>－1，解得－1<λ≤0.

综上，满足条件的实数λ的取值范围是(－∞，0]．

16．设函数f(x)＝ax－2x＋2，对于满足10，求实数a的取值范围．

2x－22

解 不等式ax－2x＋2>0等价于a>2，

2

x2x－2

设g(x)＝2，x∈(1,4)，则

x2x－2x－22xg′(x)＝ 4

2

x－2x＋4x－2xx－2 ＝＝， 44

2

xx当10，当2

g(x)≤g(2)＝，

1由已知条件a>，

2

12

?1?因此实数a的取值范围是?，＋∞?. ?2?