因式分解教材分析

“第6章因式分解 ”分析

王利明

在第5章“整式的乘除”之后，单独设立本章的主要用意是：因式分解是代数式的一种重要恒等变形。《数学课程标准》虽然降低了因式分解的特殊技巧的要求，也对因式分解常用的四种方法减少为二种，且公式法的应用中，由原来浙江义教版的5个公式减少为3个公式，但丝毫没有否定因式分解的教育价值及其在代数运算中的重要作用。因为在第7章分式运算中，因式分解是通分、约分所必备的基础知识；在解一元二次或高次方程、方程组、不等式中，因式分解是一种重要的解法；在研究代数式、三角式的恒等变形中，分解因式是主要手段之一；在数的计算中，因式分解也是进行简便计算的一种常用技巧。本章的教育价值还体现在使学生接受对立统一的观点，培养学生善于观察、善于分析、正确预见、解决问题的能力等方面。

一、本章教学要求

1. 通过探索因式分解的过程，比较和整式乘法的联系与区别，体会事物之间可以互相转化的辩证思想，从而初步接受对立统一观点。

2. 了解因式分解的意义，会判别各项的公因式，掌握添括号法则，能用提取公因式法分解因式。

3. 会用平方差公式、完全平方公式（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）。

4. 通过对平方差公式、完全平方公式的逆向变形及将一个整式看做“元”进行分解，发展学生的观察、类比、归纳、预见等能力，进一步体会换元思想，提高处理数学问题的技能。

二、本章编写特点

1. 经历探究过程， 发展概括能力。

因式分解概念的引入与原义教版教材不同。本章的设计突出了因式分解与整式的乘法的关系课本通过表格形式列出一些式子：一边是整式的乘法，另一边是转化为几个整式的积的形式，让学生观察、对比，从而归纳出因式分解的定义。这种借助于学生已有的整式乘法的基础，给学生提供一些问题背景，同时给学生留有充分探索的空间，完成因式分解的概念教学，这是本章的特点之

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一。这种探索因式分解的方法和过程一方面是对整式乘法的再认识，另一方面也使学生在探索中增强观察、发现、归纳、概括等能力。在因式分解的应用中，采用合作学习的方式探索由A B=0得到A =0或B=0，也是这个目的。本章中这样的例子还有公因式的获得、完全平方式的判别等。

2. 采用题串落实，培养推理意识。

本章例题的编排采用问题串，步步深入，步步落实。如6.2节提取公因式法例1的4 个小题，每个题目都有一个侧重，解决学生容易犯的错误。因为学生在理解了因式分解的概念，完成了从整式乘法到因式分解的转换以后，如何用符号合理表达因式分解的关系式还需要一个深化过程。教师可以利用课本中的问题串，鼓励学生独立思考与讨论交流发现题目中的变形关系。如例1第（3）小题，经提取公因式后，1要不要加，这一项应该是“+1”还是“-1”，教师不要过早下结论，应在学生充分交流的基础上由学生自己来判断，有意识地培养学生的分析问题能力和推理能力．

3. 保证运算技能，避免题型训练。

运用提取公因式法、公式法分解因式是本章学习的主要内容，在以后学习分式、解方程、三角式的恒等变形中还有重要作用，这两种方法也会得到进一步的训练。符号运算对中学数学来说是必不可少的，但必须有“度”。《数学课程标准》的一个目标就是改变原教材的“繁、难、旧、偏”现象。本套教科书既安排了一定量的训练，使学生在具备基本运算技能的同时，明白每一步的算理，又避免过于繁琐的运算，也不追求题目的数量与难度。根据《数学课程标准 》的要求，考虑到学有余力的学生，用C组题体现弹性。

4. 初步接触实际，体现知识应用。

在学习了因式分解的方法后，马上安排一节课学习因式分解的简单应用，这也是本套教科书的一大特点。这样做的好处，一是加深对因式分解这种符号变形的理解，初步了解因式分解这种变形的用途；二是为下一章分式的学习和八年级下册解一元二次方程的学习打下一定的基础．

三、教学建议

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1．因式分解与整式的乘法是互逆的恒等变形，因此在概念引入时应引导学生观察、对比因式分解与整式乘法两者的区别、联系，归纳因式分解与整式乘法的变形特点，真正理解因式分解变形的目的和意义，在这基础上再辨别一些似是而非的恒等变形，判断这些较明显恒等变形是不是因式分解变形，从而牢固掌握因式分解的含义。

2．在综合应用各种方法将多项式分解因式时，尤其要注意对学生进行观察能力的培养。在教学过程中应留给学生足够的时间观察思考，充分交流观察的结果，让学生充分发表意见，相互交流商量观察结果，讨论解题策略。应注意教学不能仅停留在简单的模仿阶段，应在实践中培养学生观察能力的同时培养学生主动探索的精神。

3. 本章中换元的思想明起着重要作用。例如，提取公因式法分解因式中， m既可以表示单项式，又可以表示多项式；用公式法分解因式，公式中的a，b也可以表示任意一个代数式．教学中教师应有意识进行渗透，使换元思想逐步成为学生在恒等变形中的有力工具，为今后的学习打下基础。

4. 教学中应该努力提高学生针对具体情况区别对待的策略意识，灵活运用因式分解的方法，促使学生使用“换元”“转化”这种一般处理数学问题的方法，探索解题思路，发展学生能力。如课本6.3节探究活动（课本第160页）的教学也要体现这种思想，先通过模仿、观察、分析，再由同学间互相讨论、交流，在每位同学充分发表意见的基础上寻找规律，最后得到结论：2n+1=

?n?1?2?n2（n ∈自然数）。

四、本章教学中应注意的问题

1. 本章内容丰富，方法多、技巧性强。《数学课程标准》对因式分解的要求有严格的界定，因此本章的教学教师不要随意增加内容，切实掌握本章内容的深度和广度。如应用公式法只要求平方差、完全平方公式，且直接用公式不超过二次。而对于十字相乘法，根据《数学课程标准》的目标，课本不作要求。教师可以根据实际情况，对学有余力的学生作适当补充，不要求全体学生掌握。

2. 虽然学生在七年级上册已经学过实数，学生已经能够理解a－b =a－

??2?b? ( a≥0，b≥0 )的变形，但本章因式分解一般都在有理数范围内进行。要提

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醒学生注意，在将多项式因式分解时，若首项为负，应把负号提到括号外面；若多项式各项中的系数有分数，也应将分数提到括号外面来。

3. 对于学有余力的学生，在确保完成《数学课程标准》规定的目标的基础上，可以适当增加一些富有挑战性的题目，扩大因式分解的方法和类型。这样既满足这部分学生的求知欲望，又可以提高因式分解的技能、技巧。例如课本P158、P161、P163中的C组题。 P158第5题：

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?2a?－1?2b? =a－b = (a + b)(a－b) ．

222通过观察图形，所求长方形与原图形面积相等，关键是求出长方形的长与宽。先考虑采用割补法求出四边形的面积，上面算法为“补”。 P161第7题： 加±4x → 4x2±4x+1； 加4x4 → 4x4+4x2+1； 加

116x2 → 4x2+1+

116x2；

加－1 → 4x2； 加－4x2 → 1 ．

本题有多种解法，关键在于把已知的两项看成是完全平方式的哪两项。估计第一种添法学生不困难，应该引导学生观察、讨论、交流，让学生自己得到多个结论．

P163第6题：（a + b）（2a + b）.

本题依据的是因式分解的意义。题中所给的图形的面积之和正好是要分解的多项式2a2+3ab+b2, 它的两个因式可以看做是一个长方形的长与宽，因此我们只要把这些图形拼成一个长方形，就能找到解答。这是一种很有意义的数形结合的方法。

（本文作者：王利明）

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