2017年山东省菏泽市中考数学试卷（含答案）

∴∴FN=

=，即==5．

，∴BF=，由①求得BF=，∴=，∴t=2，∴BF=3，

【点评】本题主要考查正方形的性质和相似三角形、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点的综合应用．

24．（10分）（2017?菏泽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），与过A点的直线相交于另一点D（3，），过点D作DC⊥x轴，垂足为C． （1）求抛物线的表达式；

（2）点P在线段OC上（不与点O、C重合），过P作PN⊥x轴，交直线AD于M，交抛物线于点N，连接CM，求△PCM面积的最大值；

（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

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【分析】（1）把B（4，0），点D（3，）代入y=ax+bx+1即可得出抛物线的解析式；

（2）先用含t的代数式表示P、M坐标，再根据三角形的面积公式求出△PCM的面积与t的函数关系式，然后运用配方法可求出△PCM面积的最大值；

（3）若四边形DCMN为平行四边形，则有MN=DC，故可得出关于t的二元一次方程，解方程即可得到结论．

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【解答】解：（1）把点B（4，0），点D（3，），代入y=ax+bx+1中得，

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，

解得：，∴抛物线的表达式为y=﹣x+

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x+1；

（2）设直线AD的解析式为y=kx+b，∵A（0，1），D（3，），∴，∴，

∴直线AD的解析式为y=x+1，设P（t，0），∴M（t，t+1），∴PM=t+1，∵CD⊥x轴，∴PC=3﹣t， ∴S△PCM=PC?PM=

（3﹣t）（t+1），∴S△PCM=﹣t+t+=﹣（t﹣）+

；

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2

2

，

∴△PCM面积的最大值是

（3）∵OP=t，∴点M，N的横坐标为t，设M（t，t+1），N（t，﹣t+∴|MN|=|﹣t+

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t+1），

t+1﹣t﹣1|=|﹣t+t|，CD=，如图1，如果以点M、C、D、N为顶点的四边形是

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平行四边形，∴MN=CD，即﹣t+t=，∵△=﹣39，∴方程﹣t+t=无实数根，∴不存在t， 如图2，如果以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形，∴MN=CD，即t﹣t=， ∴t=

，（负值舍去），∴当t=

时，以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形．

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【点评】本题考查的是二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定，正确求出二次函数的解析式、利用配方法把一般式化为顶点式、求出函数的最值是解题的关键，注意菱形的判定定理的灵活运用．