新高考数学一轮复习第七章不等式2第2讲一元二次不等式及其解法教学案

1．若集合A＝?x?

??

?x≤0?

?，B＝{x|x2<2x}，则A∩B＝( )

?x－1?

B．{x|0≤x<1} D．{x|0≤x≤1}

A．{x|0

??x???＝{x|0≤x<1}， ≤0解析：选A.因为A＝x???x－1?

B＝{x|x2<2x}＝{x|0

所以A∩B＝{x|0

2．不等式0

???x－x－2>0，?x－x－2>0，

?2即?2 ?x－x－2≤4，??x－x－6≤0，?

?（x－2）（x＋1）>0，?x>2或x<－1，??即?解得? ??（x－3）（x＋2）≤0，－2≤x≤3.??

2

2

2

借助于数轴，如图所示，

原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或2

3．已知不等式ax－3x＋6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}． (1)求a，b； (2)解不等式

2

x－c＞0(c为常数)． ax－b2

解：(1)由题知1，b为方程ax－3x＋2＝0的两根， 2b＝，??a即?所以a＝1，b＝2.

3

??1＋b＝a.

(2)不等式等价于(x－c)(x－2)＞0，当c＞2时，解集为{x|x＞c或x＜2}；当c＜2时，解集为{x|x＞2或x＜c}；当c＝2时，解集为{x|x≠2}．

一元二次不等式恒成立问题(高频考点)

一元二次不等式恒成立问题是每年高考的热点，题型多为选择题和填空题，难度为中档题．主要命题角度有：

(1)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围； (2)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈[a，b])确定参数的范围；

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(3)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(参数m∈[a，b])确定x的范围． 角度一 形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围

若关于x的不等式ax＋2x＋2＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________． 【解析】 当a＝0时，原不等式可化为2x＋2＞0，其解集不为R，故a＝0不满足题意，舍去；

当a≠0时，要使原不等式的解集为R，

??a＞0，1只需?解得a＞. 2

2?Δ＝2－4×2a＜0，?

2

?1?综上，所求实数a的取值范围是?，＋∞?. ?2??1?【答案】 ?，＋∞?

?2?

角度二 形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈[a，b])确定参数的范围

若不等式(a－a)(x＋1)＋x≤0对一切x∈(0，2]恒成立，则a的取值范围是

( )

1－3??

A.?－∞，?

2??B.?

2

2

?1＋3?，＋∞?

?2?

1－3??1＋3??C.?－∞，?∪?，＋∞?

2??2??D.?

?1－31＋3?，?

2??2

x12

.要使a－a≥在x∈(0，2]时恒成立， 11x＋x＋1

【解析】 因为x∈(0，2]， 所以a－a≥

2

＝x＋1

2

xx?1?则a－a≥?1?，

?x＋?max?x?

2

1

由基本不等式得x＋≥2，当且仅当x＝1时等号成立，即?

x?1?1

1?＝. ?x＋?max2?x?

11－31＋32

故a－a≥，解得a≤或a≥.

222【答案】 C

角度三 形如f(x)≥0(f(x)≤0)(参数m∈[a，b])确定x的范围

6

已知a∈[－1，1]，不等式x＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为

________．

【解析】 把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋(x－4x＋4)， 则由f(a)＞0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，易知只需f(－1)＝x－5x＋6＞0，且f(1)＝x－3x＋2＞0即可，联立方程解得x＜1或x＞3.

【答案】 {x|x＜1或x＞3}

(1)不等式恒成立问题的求解方法

①一元二次不等式在R上恒成立确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解．

②一元二次不等式f(x)≥0在x∈[a，b]上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值大于等于0，从而求参数的范围．

③一元二次不等式对于参数m∈[a，b]恒成立确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．

(2)三个“二次”间的转化

二次函数、二次方程与二次不等式统称三个“二次”，解决此类问题首先采用转化思想，把方程、不等式问题转化为函数问题．借助于函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题．

1．若函数y＝mx－（1－m）x＋m的定义域为R，则m的取值范围是________． 解析：要使y＝mx－（1－m）x＋m有意义，即mx－(1－m)x＋m≥0对?x∈R恒成立， 则?

?m>0，?

2

2

22

2

2

2

1

解得m≥.

3??（1－m）－4m≤0，

2

2

1

答案：m≥

3

2．若关于x的不等式4－2________．

解析：因为不等式4－2所以4－2

xxx＋1

xx＋1xx＋1

－a≥0在[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为

－a≥0在[1，2]上恒成立，

≥a在[1，2]上恒成立．

＝(2)－2×2＋1－1＝(2－1)－1.

xx2

xx2

令y＝4－2

x＋1

因为1≤x≤2，所以2≤2≤4.

由二次函数的性质可知：当2＝2，即x＝1时，y取得最小值0， 所以实数a的取值范围为(－∞，0]． 答案：(－∞，0]

x 7

一元二次不等式的应用

某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元辆，出厂价为12万元辆，年

销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0

(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；

(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？

【解】 (1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000(1＋0.6x)(0

??y－（12－10）×10 000>0，??0

2

2

??－6 000x＋2 000x>0，

即? ?0

1解得0

3

?1?所以投入成本增加的比例应在?0，?范围内． ?3?

解不等式应用题的步骤

(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系； (2)将文字语言转化为符号语言，用不等式(组)表示不等关系； (3)解不等式(组)，得到数学结论，要注意数学模型中元素的实际意义； (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．

某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价

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降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加x成．要求售价不能低于成本价．

5

(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域； (2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围．

x?8???解：(1)由题意得y＝100?1－?·100?1＋x?.

?10??50?

因为售价不能低于成本价，

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