2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何(一)

∴CD?2a，

在△ACD中，AC?2a，CD?2a，AD?2a， ∴AC2?CD2?AD2， 即CD⊥AC，

又∵SA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD， ∴CD⊥SA， ∴CD⊥平面PAC． 5.

PFDABE

C（Ⅰ）证明：∵PD?底面ABCD，BC?平面ABCD， ∴PD?BC，

又∵底面ABCD为矩形， ∴BC?CD， ∴BC?平面PCD， ∵BC?平面PBC， ∴平面PCD?平面PBC．

（Ⅱ）证明：∵PD?DC，E是PC中点， ∴DE?PC，

又平面PCD?平面PBC，平面PCD平面PBC?PC， ∴DE?平面PBC， ∴DE?PB， 又∵EF?PB，EF∴PB?平面EFD．

DE?E，

17

6.

ABDB1A1EC1C

（Ⅰ）证明：连结A1B， ∵D是AB1的中点， ∴D是A1B的中点，

∵在△A1BC中，D是A1B的中点，E是A1C的中点， ∴DE∥BC，

又DE?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1， ∴DE∥平面BCC1B1．

（Ⅱ）证明：∵ABC?A1B1C1是直棱柱， ∴AA1?平面ABC， ∴AA1?AB， 又AB?AC， ∴AB?平面ACC1A1， ∵AB?平面ABB1A1， ∴平面ABB1A1?平面ACC1A1．

7.以A为坐标原点，建立空间直角坐标系B(2,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，

C(1,2,0)

（1）BD?(?2,2,0)，PC?(1,2,?2)， ∵BD?PC?0∴BD?PC

（2）AC?(1,2,0)，AP?(0,0,2)，平面PAC的法向量为m?(2,?1,0)

DP?(0,?2,2)，AP?(1,0,0)，平面DPC的法向量为n?(0,?2,?1).

cosm,n?m?nm?n?22，二面角B?PC?D的余弦值为.

33 18

（3）∵AQ?AP?PQ?AP?tPD，t??0,1? ∴AQ?(0,0,2)?t(0,2,?2)?(0,2t,2?2t) 设?为直线AQ与平面PAC所成的角

sin??cosAQ,m?2t32t2?(2?2t)2所以，

AQ?mAQ?m?2 3?22?3t2?6t2?8t?4，解得t?2（舍）或. 33PQ2?即为所求. PD38.解:(1)不妨设正方体的棱长为1，以DA,DC,DD1 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D?xyz． 10?，D1(0，0，1)， 则A(1，0，0)，O1，1，0，C?0，，22??E1，1，1， 442于是由cos

＝

，

＝

.

3. 6??.

所以异面直线AE与CD1所成角的余弦值为CD1＝0 CO＝0，m·（2）设平面CD1O的向量为m=(x1，y1，z1)，由m·

得

取x1＝1，得y1＝z1＝1，即m=(1，1，1) .

由D1E＝λEO，则E ，.

又设平面CDE的法向量为n＝(x2，y2，z2)，由n·DE＝0. CD＝0，n·得

取x2=2，得z2＝－λ，即n＝(－2，0，λ) .

因为平面CDE⊥平面CD1F，所以m·n＝0，得λ＝2．

19

9.（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD中， ∵AB?AC，∠BCD?135?，∠ABC?45?， ∴AB⊥AC，∵E，F分别为BC，AD的中点， ∴EF∥AB，∴EF⊥AC，

∵侧面PAB⊥底面ABCD，且∠BAP?90?， ∴PA⊥底面ABCD，∴PA⊥EF， 又∵PAAC?A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，

∴EF⊥平面PAC．

（Ⅱ）证明：∵M为PD的中点，F为AD的中点， ∴MF∥PA，又∵MF?平面PAB，PA?平面PAB， ∴MF∥平面PAB，同理，得EF∥平面PAB， 又∵MFEF?F，MF?平面MEF，EF?平面MEF，

∴平面MEF∥平面PAB，又∵ME?平面MEF， ∴ME∥平面PAB．

（Ⅲ）解：∵PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，

∴AP，AB，AC两两垂直，故以AB，AC，AP分别为x轴，y轴和z轴建立如图空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，D(?2,2,0)，E(1,1,0)， 所以PB?(2,0,?2)，PD?(?2,2,?2)，BC?(?2,2,0)， 设

PM??(??[0,1])，则PM?(?2?,2?,?2?)， PD∴M(?2?,2?,2?2?)，ME?(1?2?,1?2?,2??2)， 易得平面ABCD的法向量m?(0,0,1)， 设平面PBC的法向量为n?(x,y,z)，则：

???2x?2y?0?n?BC?0，即?，令x?1，得n?(1,1,1)， ?2x?2z?0???n?PB?0∴直线ME与平面PBC所成的角和此直线与平面ABCD所成的角相等， ∴|cos?ME,m?|?|cos?ME,n?|，即

2?3|ME?m||ME?n|?，

|ME|?|m||ME|?|n|∴|2??1|?，解得??3?33?3或??（舍去），

22故

PM3?3． ?PD2 20