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本科毕业论文系列（内含开题报告、文献综述、毕业论文)

毕业论文开题报告

信息与计算科学

有理多项式曲线逼近的新方法

一、选题的背景与意义

CAGD（计算机辅助几何设计）是一门迅速发展的新兴学科，它的核心问题是要解决工业产品几何形状的数学描述。它的出现和发展既是现代工业发展的要求，又对现在工业的发展起到了巨大的促进作用。它使几何学从传统时代进入数字化定义的信息时代，焕发出勃勃生机。有理函数（有理曲线、有理曲面）在CAGD（计算机辅助几何设计）学科中占有重要的地位，有广泛和重要的应用，它广为人们接受，为CAGD的进一步发展奠定了坚实基础。

由于有理曲线在几何造型设计中有着广泛和重要的应用，但是相比较多项式曲线的形式较复杂，尤其是微分和积分的形式。因此用多项式逼近有理曲线的问题具有重要的理论和实际意义，并已得到广泛的研究。

Bézie曲线是参数多项式曲线，由于它采用一组独特的多项式基函数，使得它具有许多优良的性质，在诸多形式的参数多项式曲线中独树一帜，一经问世，就受到工业界和CAGD学术界的广泛重视，它是CAGD中最基本的造型工具之一，人们对它情有独钟。Bézier方法在实践中表现出强大的生命力。

国内外研究文献中已有许多多项式Bézier曲线逼近有理Bézier曲线的方法，例如：用混合多项式逼近有理函数、研究混合曲线控制点的移动范围、利用多项式逼近有理函数和有理曲线的收敛条件，研究区间有理Bézier曲线的边界、基于有理函数的混合表达式用Hermite 多项式逼近有理Bézier曲线，研究多项式逼近有理曲线的收敛条件、用Hermite 多项式逼近有理Bézier曲线的递归方法，以及通过用低阶的多项式曲线来插值有理参数曲线等。

此外，由于Bézier曲线可以不断升阶，从而得到一个控制多边形序列，它们都定义同一条Bézier曲线。这个多边形序列将收敛都一个极限，就是所定义的Bézier曲线。因此可以通过升阶的方法使Bézier曲线一致收敛到有理多项式Bézier曲线。例如：参考文献[7]中提到的方法：对一个任意给定连续升阶的有理Bézier曲线，用它的控制点构造Bézier曲线的控制点，得出任意给定阶数的Bézier曲线序列的r

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阶导数将一致收敛到对应的原有理Bézier曲线的r阶导数。

这些方法各有特点，各有自己的适用场合，但是关于这一问题显然还有值得完善和改进的地方。我将在已有研究方法的基础上，构造一个新的Bézier曲线，实现用新构造的多项式Bézier曲线逼近原有理Bézier曲线，与现有的研究方法相比，更具几何直观性，方法更简洁直接，并且将尽可能提高逼近精度，便于计算机操作与应用的实现。

二、研究的基本内容与拟解决的主要问题

1.调研用多项式参数曲线逼近有理曲线的背景及意义，综述已有方法的优缺点； 2.提出用多项式参数曲线逼近有理曲线的一种新方法，并给出具体计算实例。

构造新的Bézier曲线来逼近有理Bézier曲线。根据参考文献[7]，对一个任意给定连续升阶的有理Bézier曲线，用它的控制点构造Bézier曲线的控制点，得出任意给定阶数的Bézier曲线序列的r阶导数将一致收敛到对应的原有理Bézier曲线的r阶导数,记升阶后的有理Bézier曲线的控制点为{Pr}，根据参考文献[7]中的引理1：(See Farin, 1999.) 当 有理Bézier曲线

Rn(t)??wi?0ni?0ni,ni,nPBi,n(t)Bi,n(t)不断升阶，它的控制点{Pi,n}一致收敛到

?wi,ni{R()}，用 {Pr}和{R(i)}的线性组合构造新的控制点，用这些线性变化的控制点作为

nn多项式Bézier曲线的控制点，以此实现课题研究的目的，用构造的多项式Bézier曲线逼近有理Bézier曲线。

三、研究的方法与技术路线

1、尝试给出新控制顶点的解析表达式。使用直观的几何方法，通过升阶的方法，改变原有理Bézier

曲线的控制点和权值，以参考文献[7]作为理论依据，构造新的多项式Bézier曲线的控制点。实

现用多项式Bézier曲线逼近有理Bézier曲线。

2、提高逼近精度。在Bézier曲线性质的基础上，移动Bézier曲线的控制点，来逼近有理Bézier 曲线，使得逼近误差尽可能小。

3、给出适当的算例来说明我们所给出方法的可行性与可操作性。

选4阶、5阶、6阶的Bézier曲线逼近同阶的有理Bézier曲线，以此说明用构造的新的多项式Bézier曲线逼近原有理Bézier曲线的有效性和可行性。

4、整理用代表性算例计算的算法和结果，针对算例中出现的问题，提高逼近精度。

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①、在Bézier曲线性质的基础上，移动Bézier曲线的控制点，调整逼近的方法。 ②、修正逼近的精度的算法。

四、研究的总体安排与进度

1. 2010-2011年第一学期 第13周：选题、开题论证会。

第14 周：对文献综述和开题报告进行修改。 第15-19周：收集资料，提交论文研究框架。 2. 2010-2011年第二学期

第1-7周：提交毕业论文初稿给指导教师审阅，修改论文。 第8周：毕业论文定稿，完成相关材料的填写，装订成册。 第9-11周：毕业论文上交教务办。 第12周：参加毕业论文答辩。

五、主要参考文献

[1] 王国谨,汪国昭,郑建明,计算机辅助几何设计.北京市:高等教育出版社,2001.36-46. [2] 陈效群,陈发来,陈长松.有理曲线的多项式逼近[J].高校应用数学学报A辑（中文版）,1998,(S1).

[3] 寿华好,王国瑾.区间Bezier曲线的边界[J]. 高校应用数学学报A辑（中文版）,1998,(S1). [4] 陈效群,娄文平.有理曲线的区间Bezier曲线的逼近[J].中国科学技术大学学报,2001,(04). [5] 孟祥国,王仁宏.有理曲面的区间Bezier曲面的逼近[J].数值计算与计算应用，2003,(04). [6] Thomas W. Sederberg ,Masanori Kakimoto, Approximating rational curves using polynomial curves, in NURBS for Curve and Surface Design, G. Farin, ed., SIAM, Philadelphia, 1991, pp. 149--158.

[7] Huang Youdu ,Su Huaming ,Lin Hongwei, A simple method for approximating rational curves using Bezier curves, Computer Aided Geometric Design, Volume 25, Issue 8, November 2008, Pages 697-699.

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有理多项式曲线逼近的新方法

CAGD（计算机辅助几何设计）是一门迅速发展的新兴学科，它的核心问题是要解决工业产品几何形状的数学描述。它的出现和发展既是现代工业发展的要求，又对现在工业的发展起到了巨大的促进作用。它使几何学从传统时代进入数字化定义的信息时代，焕发出勃勃生机。有理函数（有理曲线、有理曲面）在CAGD（计算机辅助几何设计）学科中占有重要的地位，有广泛和重要的应用，它广为人们接受，为CAGD的进一步发展奠定了坚实基础。

由于有理曲线在几何造型设计中有着广泛和重要的应用，但是相比较多项式曲线的形式较复杂，尤其是微分和积分的形式。因此用多项式逼近有理曲线的问题具有重要的理论和实际意义，并已得到广泛的研究。

Bézie曲线是参数多项式曲线，由于它采用一组独特的多项式基函数，使得它具有许多优良的性质，在诸多形式的参数多项式曲线中独树一帜，一经问世，就受到工业界和CAGD学术界的广泛重视，它是CAGD中最基本的造型工具之一，人们对它情有独钟。Bézier方法在实践中表现出强大的生命力。

国内外研究文献中已有许多多项式Bézier曲线逼近有理Bézier曲线的方法，例如：用混合多项式逼近有理函数、研究混合曲线控制点的移动范围、利用多项式逼近有理函数和有理曲线的收敛条件，研究区间有理Bézier曲线的边界、基于有理函数的混合表达式用Hermite 多项式逼近有理Bézier曲线，研究多项式逼近有理曲线的收敛条件、用Hermite 多项式逼近有理Bézier曲线的递归方法，以及通过用低阶的多项式曲线来插值有理参数曲线等。

此外，由于Bézier曲线可以不断升阶，从而得到一个控制多边形序列，它们都定义同一条Bézier曲线。这个多边形序列将收敛都一个极限，就是所定义的Bézier曲线。因此可以通过升阶的方法使Bézier曲线一致