2012年高校自主招生物理训练（全部知识精心设计）

????atan??2?(a?2)tan???2a(a?2)?2

当atan??(a?2)tan?时，即tan??1a(a?2)3m2M2aa?2时，F（θ）有最大值，其值为

F(?)max??2M3m2

?3mM因此?min?

?3mM11．军训中，战士距墙s。以速度?0起跳，如图5—3所示，再用脚蹬墙面一次，身体变为竖直向上的运动以继续升高，墙与鞋底之间的静摩擦因数为μ．求能使人体重心有最大总升高的起跳角θ。

分析和解：在解答本题时，注意摩擦力的冲量远大于人体重力 的冲量，抓住主要因素忽略次要因素，是经常用到的手段。 人以角θ起跳，水平初速度和竖直初速度分别为 ?0x??0cos?，?0y??0sin?

从起跳到蹬墙时空中飞行的时间为

t?s0?0cos?

则人蹬墙前竖直方向的速度为

?y??0y?gt??0sin??g人重心升高：

h1??0yt?12gt??0sin?2s0?0cos?s0

?0cos??12g(s0?0cos?)?s0tan??212g(s0?0cos?)

2设人蹬墙的时间为△t，因△t很小，则静摩擦力的冲量远大于人体重力的冲量，即If??IG，由动量定理得：If??N?t?m??y

而在水平方向同样由动量定理可知：N?t?m??x?m?x?m?ocos?

??y???人蹬墙后获得竖直向上的速度：??y??ysin??0gs0?0cos????0cos?人蹬墙后再上升

的高度

?gs0??(sin???cos?)??0?222??y?0cos???0(sin???cos?)s01?2h2????s0tan???s0?g()2g2g2g2?0cos?2

人体重心上升的总高度：H?h1?h2?令tanφ=μ，则

对?0、s0一定时，当????即??arctan1?0(sin???cos?)2g22??s0

?2时H最大．

?时，人体的重心总升高最大．

自主招生训练三 等效电路

一、具有一定对称性的电路

有些网络在电气结构上具有某种对称性质，正确地利用对称性，可大大简化分析。 1.图示电阻网络，各电阻相等均为R，求ab端口等效电阻Rab。

解：假设a、b端口加一电压源Us，由于电路以acb为轴左右对称，所以节点p与p’，q与q’，o与o’的电位分别相等，将等电位点联接起来就成了图(b)电路，相当于acb为轴将左右部分“对折”到左边，对应的电阻并联(各电阻均为

∴Rab?R2?R?RR?R?R2R2)

成为串并联电路

?3R2对于图(a)还有另一种对称性，就是以oco’为中心的上下对称，设b点为零电位点，a点电位为

Us，则在中心线各点的电位均为

∴Rab?R2?12R4Us，即o，c，o’三点等电位，也可联接起来，也方便求出

?R4?R2?32R

结论：在电路分析中，如果已知或判断出电路中某两点或多点电位(节点电位)相同，即可把这两个(多个)节点短接，来化简电路。

2.如图所示的立方体型电路，每条边的电阻都是R。求A、G之间的电阻是多少？

分析: 假设在A 、G两点之间加上电压时，显然由于对称性D、B、E 的电势是相等的，C、F、H的电势也是相等的，把这些点各自连起来，原电路就变成了如图7所示的简单电路。

考虑到D、E、B三点等势，C、F、H三点等势，则电路图可等效为如图13—11—乙所示的电路图，所以AG间总电阻为 R?r3?r6?r3?56r

3.三个相同的金属圆环两两正交地连接成如图5所示形状。若每个四分之一圆周金属丝电阻为R时，测得A、B间电阻为RAB。今将A、B间一段金属丝改换成另

一个电阻为R/2的一段四分之一圆周的金属丝，并在A、B间加上恒定电压U，试求消耗的总功率?

解：用常规的混联电路计算模式去解答，显然不易凑效。由等效电阻的概念，可设去掉A、B间一段四分之一圆周的金属丝后剩余部分电阻为Rx，则RAB可等效为Rx与R的并联值。即

RAB＝R·Rx/（R＋Rx）， Rx＝RRAB/（R－RAB）。

现将R′＝（R/2）电阻丝并在A、B端，从A、B端看进去，此时电阻为 R总＝RxR′/（Rx＋R′）＝RRAB/（R＋RAB）， 电流所消耗的功率为

P＝（U2/R总）＝U2（R＋RAB）/（R·RAB）。 二、线型无限网络

4．如图21所示的电路是一个单边的线型无限网络，每个电阻的阻值都是R，求A、B之间的等效电阻RAB .

图21

解：因为是“无限”的，所以去掉一个单元或增加一个单元不影响等效电阻即RAB应该等于从CD往右看的电阻RCD

RAB=2R+R*RCD/(R+RCD)=RCD

整理得 RCD2-2RRCD-2R2=0

1/2

解得：RCD=（1+3）R= RAB

5．一两端无穷的电路如图22所示，其中每个电阻均为r求a、b两点之间的电阻。

图22 图23

解：此电路属于两端无穷网络，整个电路可以看作是由三个部分组成的，如图所示，则 Rab=(2Rx+r)r/(2Rx+2r)

即是无穷网络，bb之间的电阻仍为Rx 则 Rx=（31/2-1）r

代入上式中解得Rab=（6-31/2）*r/6

1

自主招生训练四 磁场与电磁感应

1．半径为R、质量为m的匀质圆板上均匀地分布相对圆板不动的正电荷Q，圆板在水平地面上向右以v0作纯滚动，空间有垂直于纸面向里的水平方向磁场B。为了使圆板不会离开地面，求v0的范围。

解：研究圆板某一条直径上关于圆心O对称的A、B两点，它们相对地面的速度由v0的洛仑磁力都是v0B?q方向向上。

圆板上所有的点都存在一个关于O点对称的点，都可以进行同上的分析，因此整个圆板上电荷受到的

mg洛仑磁力F??v0B?q?Qv0B要圆板不离开地面，则Qv0B?mgv0?

QB2.如图所示,水平虚线L1、L2之间是匀强磁场,磁场方向水平向里，

DC磁场高度为h。?竖直平面内有一等腰梯形线框，底边水平，其上下边长之比为5:1，高为2h。现使线框AB边在磁场边界L1的上方h高处由静止自由下落，当AB边刚进入磁场时加速度恰好为0，在DC边刚进入磁场前的一段时间内，线框做匀速运动。求: （1）DC边刚进入磁场时，线框的加速度

（2）从线框开始下落到DC边刚进入磁场的过程中，线框的机械能

损失和重力做功之比

解：(1)设AB边刚进入磁场时速度为?0,线框质量为m、电阻为R，AB=l ,则CD=5 l 则mgh=

12ABh v0ωRAO v0ωRBv0和它们相对圆心O的速度vr??R构成，其中两个两个vr产生的洛仑磁力恰好相互抵消，两个v0产生

× × × × × L1

h × × × × × L2

m?0 (1分)

Bl?0R222

AB刚进入磁场时有， =mg (2分)

设线框匀速运动时速度为?1

??B?SB?SB(L上?1-Ｌ下?1)?t===E感==B(2l)?1 （1分） ?t?t?t?t22B(2l)?1线框匀速运动时有=mg；得出?1= ?0/4 （1分）

RCD刚进入磁场瞬间，E'感=B(3l)?1 （1分） FI=9mg/4 (1分)

a=5g/4 (1分)

(2)从线框开始下落到CD边进入磁场前瞬间，根据能量守恒定律得： mg(3h)-Q=

12m?12 (2分)

4716机械能损失△E=Q= mgh (1分)

所以，线框的机械能损失和重力做功之比△E：WG = 47：48 (1分)