2012年高校自主招生物理训练（全部知识精心设计）

Mr3．如图所示，一个半径为R的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其A端固定在球面的顶点，B端恰与桌面不接触，铁链单位长度的质量为ρ.试求铁链A端受的拉力T.

解析：以铁链为研究对象，由由于整条铁链的长度不能忽略不计，所以整条铁链不能看成质点，要分析铁链的受力情况，须考虑将铁链分割，使每一小段铁

22T??????2?Mr? 解得最大角速度 ??22?T

链可以看成质点，分析每一小段铁边的受力，根据物体的平衡条件得出整条铁链的受力情况.在铁链上任取长为△L的一小段（微元）为研究对象，其受力分析如图3—2—甲所示.由于该元处于静止状态，所以受力平衡，在切线方向上应满足：

T???T???Gcos??T? ?T???Gcos????Lgcos? 由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大 △Tθ，所以整个铁链对A端的拉力是各段上△Tθ的和， 即 T???T?????Lgcos???Lco?s?R??g??Lcos?

观察 ?Lcos?的意义，见图3—2—乙，由于△θ很小，

所以CD⊥OC，∠OCE=θ△Lcosθ表示△L在竖直方向上的投影△R， 所以

可得铁链

A

端受的拉力

T??g??Lcos???gR

4．某行星围绕太阳C沿圆弧轨道运行，它的近日点A离太阳的距离为a，行星经过近日点A时的速度为vA，行星的远日点B离开太阳的距离为b，如图3—3所示，求它经过远日点B时的速度vB的大小.

解析：此题可根据万有引力提供行星的向心力求解.也可根据开普勒第二定律，用微元法求解.设行星在近日点A时又向前运动了极短的时间△t，由于时间极短可以认为行星在△t时间内做匀速圆周运动，线速度为vA，半径为a，可以得到行星在△t时间内扫过的面积 Sa?12vA?t?a 同

12vB?t?b 由开普勒

理，设行星在经过远日点B时也运动了相同的极短时间△t，则也有 Sb?第二定律可知：Sa=Sb 即得 vB?abvA 此题也可用对称法求解.

5．宇宙飞船绕一行星做匀速圆周运动，轨道半径为R，速率为v船长想把圆形轨道改为过B点的椭圆轨道，B点距行星中心为3R，如图4-37所示．

(1)若飞船在A点由圆形轨道改为椭圆轨道，它的速率应增加多少? (2)飞船由A到B的时间是多少?

(3)飞船由A到C,由C到B各需多长时间? [解](1)飞船在圆形轨道上时：GMm2RRR 变为椭圆轨道后，设在A点速度为v1,在B点速度为v2满足：

?mv2 得出：v?GM 1?1vR?v2?3R1??22 ?1Mm1Mm2?mv2?G?mv2?G1?R23R?2可以求得：v1?62?62GMR?62v

速度应增加?v?(?1)v

(2)变为椭圆轨道后,其周期等于半径为2R的圆形轨道的周期(半长轴相等,周期相等)则有: GMm4R2?m4?T22?2R 得出T?42?MmRT22GMR ① GMR?2?Rv在原圆形轨道时,G从A到B的时间t??m4?T202R T0?2? ②

?22?Rv

(3)时间之比等于飞船扫过的面积之比。设由A到C的时间为T1，由C到B的时间为T2.椭圆的半短轴为3R

?T1T2?SDCASDCB?SCOA?S?CODSCOB?S?COD?4?2R?3R??2R?3R?1212?R?3R??R?3R??1??1? ③

4T1?T2?22?Rv ④

, T2?(??1)2Rv由③④得:T1?(??1)2Rv

6．一枚质量为M的火箭，依靠向正下方喷气在空中保持静止，如果喷出气体的速度为v，那么火箭发动机的功率是多少？

解析：火箭喷气时，要对气体做功，取一个很短的时间，求出此时间内，火箭对气体做的功，再代入功率的定义式即可求出火箭发动机的功率.

选取在△t时间内喷出的气体为研究对象，设火箭推气体的力为F，根据动量定理，有

F△t=△m·v 因为火箭静止在空中，所以根据牛顿第三定律和平衡条件有F=Mg 即 Mg·△t=△m·v △t=△m·v/Mg

对同样这一部分气体用动能定理，火箭对它做的功为： W?1?mv212?mv

2所以发动机的功率 P?W?t?12?MgV

(?mV/Mg)2

7．一根质量为M，长度为L的铁链条，被竖直地悬挂起来，其最低端刚好与水平接触，今将链条由静止释放，让它落到地面上，如图3—7所示，求链条下落了长度x时，链条对地面的压力为多大？ 解析：在下落过程中链条作用于地面的压力实质就是链条对地面的“冲力”加上落在地面上那部分链条的重力.根据牛顿第三定律，这个冲力也就等于同一时刻地面对链条的反作用力，这个力的冲量，使得链条落至地面时的动量发生变化.由于各质元原来的高度不同，落到地面的速度不同，动量改变也不相同.我们取某一时刻一小段链条（微元）作为研究对象，就可以将变速冲击变为恒速冲击.

设开始下落的时刻t=0，在t时刻落在地面上的链条长为x，未到达地面部分链条的速度为v，并设链条的线密度为ρ.由题意可知，链条落至地面后，速度立即变为零.从t时刻起取很小一段时间△t，在△t内又有△M=ρ△x落到地面上静止.地面对△M作用的冲量为

(F??Mg)?t??I 因为 ?Mg??t?0 所以 F?t??M?v?0??v?x 解得冲力：

F??v?x?t?x?t，其中就是t时刻链条的速度v，

故 F??v2 链条在t时刻的速度v即为链条下落

长为x时的即时速度，即v2=2gx，代入F的表达式中，得 F?2?gx 此即t时刻链对地面的作用力，也就是t时刻链条对地面的冲力. 所以在t时刻链条对地面的总压力为 N?2?gx??gx?3?gx?3MgxL.

8．一根均匀柔软的绳长为L，质量为m，对折后两端固定在一个钉子上，其中一端突然从钉子上滑落，试求滑落的绳端点离钉子的距离为x时，钉子对绳子另一端的作用力是多大？

解析：钉子对绳子另一端的作用力随滑落绳的长短而变化，由此可用微元法求解.如图3—8所示，当左边绳端离钉子的距离为x时，左边绳长为(l?x)，速度 v?212gx，

右边绳长为

12(l?x). 又经过一段很短的时间△t以后，

1左边绳子又有长度V?t的一小段转移到右边去了，我们就分

2析这一小段绳子，这一小段绳子受到两力：上面绳子对它的拉 力T和它本身的重力v?t?g(??m/l为绳子的线密度），

21根据动量定理，设向上方向为正 (T?1212v?t?g)?t?0?(?12v?t??v)

由于△t取得很小，因此这一小段绳子的重力相对于T来说是很小的，可以忽略， 所以有 T?F?12v??gx? 因此钉子对右边绳端的作用力为

12mg(1?3xl)

2(l?x)?g?T?

9． 如图所示，一质量为M、长为L带薄挡板P的木板，静止在水平的地面上，设木板与地面间的静摩擦因数与滑动摩擦因数相等，皆为μ．质量为m的人从木板的一端由静止开始相对于地面匀加速地向前走向另一端，到达另一端时便骤然抓住挡板P而停在木板上．已知人与木板间的静摩擦因数足够大，人在木板上不滑动．问在什么条件下最后可使木板向前方移动的距离达到最大？其值等于多少？

解：在人从木板的一端向另一端运动的过程中，先讨论木板发生向后运动的情形．设人开始运动到刚抵达另一端尚未停下这段过程中所用的时间为t，以x1表示木板向后移动的距离，如图所示．以f表示人与木板间的静摩擦力，以F表示地面作用在木板上的摩擦力，以a1和a2分别表示人和木板的加速度，则有 f?ma1，L?x1?12a1t，f?F?Ma2，x1?212a2t

2由以上四式联立解之，得t?2LMmMf?m(f?F)

对人和木板组成的系统，人在木板另一端骤然停下后，两者的总动量等于从开始到此时地面的摩擦力F

（外力）的冲量，忽略人骤然停下那段极短的时间，则有Ft?(M?m)V V为人在木板另一端刚停下时两者一起运动的速度．设人在木板另一端停下后两者一起向前移动的距离

为x2，与地面的滑动摩擦因数为μ，则有

12(M?m)V2??(M?m)gx2

木板向前移动的净距离为X?x2?x1 将以上各式联立解之得

???LMmLm2?)??(f?F)???

?gM?m?(M?m)(f?F)?MF?Mf?m(f?F)??由上式可知，欲使木板向前移动的距离X为最大值，应有f?F X?1(F即f?Fmax??(M?m)g

即木板向前移动的距离为最大的条件是：人作用于木板的静摩擦力等于地面作用于木板的滑动摩擦力． 移动的最大距离为Xmax?mLM?m

由上面可见，在设木板发生向后运动，即f?F的情况下，f = F时，X有极大值．换句话说，在时间0一t内木板刚刚不动的条件下X有极大值．

再来讨论木板不动，即f

10．如图中，是一带有竖直立柱的木块，总质量为M，位于水平地面上，B是一质量为m的小球，通过一不可伸长的轻绳挂于立柱的顶端，现拉动小球使绳伸直并处于水平位置，然后让小球从静止状态下摆，如在小球与立柱发生碰撞前，木块A始终未发生移动，则木块与地面之间的静摩擦因数至少为多大？（设A不会发生转动）

解：设当小球摆至与水平方向的夹角为θ时小球的速度为?，则mglsin??此时小球受到绳的拉力为T，由于小球做圆周运动，有 l对于木块，设地面对木块的支持力为N，摩擦力为f，故有

Tsin??Mg?N?0 Tcos??f?0

12m?

2T?mglsin??m?2

设地面的静摩擦因数为μ，则有：f??N 联立以上各式解得：??3msin??cos?23msin??Ma?2sin?2M2sin??cos?式中已令a?，又令F(?)? 23ma?2sin?于是??F(?)，即关于θ的函数，现要求不论θ取何值，不块均不发生移动，这就要求静摩擦因

?2sin??cos?2

数μ的最小值?min等于F（θ）的最大值F(?)max，而F(?)max可通过下述方法 求得：

F(?)?2sin??cos?a(cos??sin?)?2sin?222?2sin??cos?acos??(a?2)sin?22?2atan??(a?2)tan?