2015-2016高中数学 第一章 统计案例章末总结 新人教A版选修1-2

2015-2016高中数学 第一章 统计案例章末总结 新人教A版选修1-2

回归方程及其应用

对所抽取的样本数据进行分析，分析两个变量之间的关系——线性关系或非线性关系，并由一个变量的变化去推测另一个变量的变化，这就是对样本进行回归分析．

某商场经营一批进价是30元/台的小商品，在市场试验中发现，此商品的销售单价x(x取整数)元与日销售量y台之间有如下对应数据：

单位x/元 日销售量y/台 35 56 40 41 45 28 50 11 (1)画出散点图并说明y与x是否具有线性相关关系．如果有，求出线性回归方程(方程的斜率保留一个有效数字)．

(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据(1)写出P关于x的函数关系式，并预测当销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润．

分析：作出散点图，根据散点图观察是否具有线性相关关系． 解析：(1)散点图如图所示：

1

从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量具有线性相关关系． ^^^

(2)设回归直线方程为y＝a＋bx.

－－^

∵x＝42.5，y＝34，∴b＝错误!＝－错误!≈－3，错误!＝错误!－b错误!＝34－(－3)×42.5＝161.5.

^

∴y＝161.5－3x.

(2)由题意，有P＝(161.5－3x)(x－30)＝－3x＋251.5x－4 845. 251.5

∴当x＝≈42时，P有最大值．

6

即预测销售单价为42元时，能获得最大日销售利润．

点评：判断两个变量之间是否有线性相关关系一般有两种方法：一是计算样本相关系数；二是画散点图．两种方法要结合题目的要求合理选取，也可同时使用，则判断更加准确．

?变式训练

1．从某居民区随机抽取10个家庭，获得i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得错误!错误!＝720.

^^^

(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a； (2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；

(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．

附：线性回归方程y＝bx＋a中，b＝错误!，a＝错误!－b错误!，其中错误!，错误!为^^^

样本平均值，线性回归方程也可写为y＝bx＋a.

nn

8020－1－1

解析：(1)由题意知：n＝10，x＝?xi＝＝8，y＝?yi＝＝2.

ni＝110ni＝110

2

又Lxx＝错误!iyi－n错误!错误!＝184－10×8×2＝24，

^Lxy24^－^－

由此得b＝＝＝0.3，a＝y－bx＝2－0.3×8＝－0.4.故所求回归方程为：y＝0.3x

Lxx80

2

－0.4.

^

(2)由于变量y的值随x的值增加而增加(b＝0.3＞0)，故x与y之间是正相关． (3)将x＝7代入回归方程，可以预测该家庭的月储蓄为：y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)． 测得一个随机样本的数据如下表所示：

x y 21 7 23 11 25 21 27 24 29 66 32 115 35 325 (1)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系； (2)建立x与y的关系，并预报回归模型； (3)利用所得回归模型预报x＝40时y的值．

解析：(1)x与y的散点图如下图，有散点分布猜测样本数据分布在一条曲线的附近，这条曲线接近指数函数曲线y＝c1ec2x，其中c1，c2为常数．

(2)对y＝c1ec2x两边取对数的ln y＝ln c1＋c2x.令A＝ln y，则A＝bx＋a，其中a＝ln c1，b＝c2.

将y与x之间的数据转化为A与x之间的数据：

x A 21 1.946 23 2.398 25 3.045 27 3.178 29 4.190 32 4.745 35 5.784 ^0.272x－3.849可以求得回归直线方程为A＝0.272x－3.849，所以y＝e. (3)当x＝40时，y＝e0.272×40－3.849

≈1 131.

点评：根据样本数据描出散点图，再由散点图直观地观察散点分布符合的函数模型，再根据有关公式进行计算．

?变式训练

2．在一化学反应过程中，化学物质的反应速度y(g/min)与一种催化剂的量x(g)有关，现收集了8组观测数据列于下表：

催化剂的量x/g

15 18 21 24 27 30 33 36 3

化学物质的反应 速度y(g·min) 试建立y与x之间的回归方程． －16 8 30 27 70 205 65 350 解析：根据收集的数据，作出散点图(如下图所示)，根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y＝ae的周围，其中a和b是待定的参数．

bx

令z＝ln y，则z＝ln y＝bx＋ln a，即变换后的样本点应该分布在直线z＝bx＋c(c＝

ln a)附近．

有y与x的数据表可得到变换后的z与x的数据表： x z 15 1.792 18 2.079 21 3.401 24 3.296 27 4.248 30 5.323 33 4.174 36 5.858 由z与x的数据表，可得线性回归方程： ^

z＝0.181x－0.848，

所以y与x之间的非线性回归方程为： ^0.181x－0.848y＝e. 独立性检验及其应用

在日常生活中，分类变量是大量存在的，例如吸烟与患肺癌等，在实际问题中，我们常常关心两个变量之间是否有关系．

为观察药物A、B治疗某病的疗效，某医生将100例该病病人随机地分成两组，一组40人，服用A药；另一组60人，服用B药．结果发现：服用A药的40人中有30人治愈，服用B药的60人中有11治愈，问A、B两药对该疾病的治愈率之间是否有显著差别？

解析：为便于将数据代入公式计算，先列出2×2列联表：

治愈 未愈 总计 4