2017年中考数学专题复习三：方程与函数

专题三：方程与函数

【问题解析】

数学与人类发展和社会进步息息相关，数学来源于生活，又服务于生活，解决生活中的一些实际问题，往往离不开数学建模，方程与函数是常用的数学建模，中考在解答题中常考列方程(组)解应用题和由实际问题建立函数解析式，利用函数的性质解决问题．列方程(组)在解应用题时，关键是分析题中已知量和未知量之间的关系，寻找题目中的等量关系，从而设出未知量，列出方程(组)．建立函数模型来解决问题，关键弄清问题中变量之间关系，属于哪种函数模型，用待定系数法求出函数解析式后，利用函数性质解答．

【热点探究】

类型一：一次方程为主的应用题

【例题1】（2016·江西·8分）如图是一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用10节大小不同的空心套管连接而成．闲置时鱼竿可收缩，完全收缩后，鱼竿长度即为第1节套管的长度（如图1所示）：使用时，可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸（如图2所示）．图3是这跟鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图．已知第1节套管长50cm，第2节套管长46cm，以此类推，每一节套管均比前一节套管少4cm．完全拉伸时，为了使相邻两节套管连接并固定，每相邻两节套管间均有相同长度的重叠，设其长度为xcm．

（1）请直接写出第5节套管的长度；

（2）当这根鱼竿完全拉伸时，其长度为311cm，求x的值．

【考点】一元一次方程的应用．

【分析】（1）根据“第n节套管的长度=第1节套管的长度﹣4×（n﹣1）”，代入数据即可得出结论；

（2）同（1）的方法求出第10节套管重叠的长度，设每相邻两节套管间的长度为xcm，根据“鱼竿长度=每节套管长度相加﹣（10﹣1）×相邻两节套管间的长度”，得出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．

【解答】解：（1）第5节套管的长度为：50﹣4×（5﹣1）=34（cm）． （2）第10节套管的长度为：50﹣4×（10﹣1）=14（cm）， 设每相邻两节套管间重叠的长度为xcm， 根据题意得：（50+46+42+?+14）﹣9x=311， 即：320﹣9x=311， 解得：x=1．

答：每相邻两节套管间重叠的长度为1cm． 【同步练】

（2016海南）世界读书日，某书店举办“书香”图书展，已知《汉语成语大词典》和《中华上下五千年》两本书的标价总和为150元，《汉语成语大词典》按标价的50%出售，《中华上下五千年》按标价的60%出售，小明花80元买了这两本书，求这两本书的标价各多少元．

类型二：二次方程为主的应用题

【例题2】（2016·青海西宁·10分）青海新闻网讯：2016年2月21日，西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用．市政府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车．今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车．预计2018年将投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车．

（1）请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？

（2）请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率． 【考点】一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用．

【分析】（1）分别利用投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车以及投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车进而得出等式求出答案；

（2）利用2016年配置720辆公共自行车，结合增长率为x，进而表示出2018年配置公共自行车数量，得出等式求出答案．

【解答】解：（1）设每个站点造价x万元，自行车单价为y万元．根据题意可得：

解得：

答：每个站点造价为1万元，自行车单价为0.1万元．

（2）设2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为a． 根据题意可得：720（1+a）2=2205 解此方程：（1+a）2=即：

，

，

（不符合题意，舍去）

答：2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为75%． 【同步练】

（2016·广西百色·10分）在直角墙角AOB（OA⊥OB，且OA、OB长度不限）中，要砌20m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96m．

（1）求这地面矩形的长；

（2）有规格为0.80×0.80和1.00×1.00（单位：m）的地板砖单价分别为55元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面（不计缝隙），用哪一种规格的地板砖费用较少？

类型三：分式方程为主的应用题

【例题3】（2016·广西桂林·8分）五月初，我市多地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾害，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共2000件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙种物品的件数相同

（1）求甲、乙两种救灾物品每件的价格各是多少元？

（2）经调查，灾区对乙种物品件数的需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心组织按照此需求的比例购买这2000件物品，需筹集资金多少元？

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【考点】分式方程的应用；一元一次方程的应用．

【分析】（1）设每件乙种物品的价格是x元，则每件甲种物品的价格是（x+10）元，根据用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙种物品的件数相同

列出方程，求解即可；

（2）设甲种物品件数为m件，则乙种物品件数为3m件，根据该爱心组织按照此需求的比例购买这2000件物品列出方程，求解即可．

【解答】解：（1）设每件乙种物品的价格是x元，则每件甲种物品的价格是（x+10）元， 根据题意得， 350x?10解得：x=60．

经检验，x=60是原方程的解．

答：甲、乙两种救灾物品每件的价格各是70元、60元；

（2）设甲种物品件数为m件，则乙种物品件数为3m件， 根据题意得，m+3m=2000， 解得m=500，

即甲种物品件数为500件，则乙种物品件数为1500件，此时需筹集资金：70×500+60×1500=125000（元）．

答：若该爱心组织按照此需求的比例购买这2000件物品，需筹集资金125000元． 【同步练】

（烟台市 2014 中考 -23）山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．

（1）今年A型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答）

（2）该车行计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？

A，B两种型号车的进货和销售价格如下表： 进货价格（元） A型车 1100 B型车 1400

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