2012年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科数学及答案

当n≥7时，bn≤b7=lg10027?lg100128?lg1?0故数列{lg1}的前6项的和最大. ……12分

，an[点评]本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一，知识层面：考查等差数列、等比数列、对数等基础知识；第二，能力层面：考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力；第三，数学思想：考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想.

21、[解析]（1）设M的坐标为（x,y），当x=-1时，直线MA的y斜率不存在；当x=1时，直线MB的斜率不存在。 M于是x≠1且x≠-1.此时，MA的斜率为

yX?1，MB的斜率为yx?1. A由题意，有y·y=4化简可得，4x2OBxX?1x?1-y2-4=0

故动点M的轨迹C的方程为4x2-y2-4=0（x≠1且x≠-1）……4分

（2）由??y?x?m22

?4x2?y2?4?0消去y，可得3x-2mx-m-4=0. (﹡) 对于方程(﹡)，其判别式?=（-2m)2－4×3（-m2-4）=16m2+48>0，而当1或-1为方程（*）的根时，m的值为-1或1.结合题设（m>0）可知，m>0，且m≠1 设Q、R的坐标分别为（XQ,YQ）,(XR,YR),则为方程（*）的两根. 2因为PQ?PR,所以

Xm?2m2?3Q?XR，XQ?3,Xm?2m?3P?3

21?3m2?1所以

PR?XPPQX??1?2R21?3。此时1?3,且1?3m121?32?m2?1m2?1m2?2

所以1?1?2?3,且1?2?521?3m2?121?3m2?13 所以1?PRXRRPQ?X?3,且PR?X?5PPQXP3

综上所述，

PRPQ的取值范围是（1，53）?（53，3） …………………………12分 [点评]本小题主要考察直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识，考察思维能力、运算能力，考察函数、分类与整合等思想，并考察思维的严谨性。

?n

?22、[解析]（1）由已知得，交点A的坐标为

?

?a??

2,0???

，对y??x2?1any'??2x

?

2求导得则抛物线在点A切线方程为：y??2an(x?ann2),即y??2ax?an.则f(n)?an …4分

n（2）由（1）知f(n)=

an,则f(n)?1n?2n?f(n)?1?n?1成立的充要条件是an?2n?1即知，a1，

对于所有的n成立，特别地，当n=1时，得到a≥3，

（3）当a=3，n≥1时，

an?3n?(1?2)n?1?C1n.2???2n?1

f(n)?1当n=0时，

an(n)?1?n=2n+1.故a=3时fn?1对所有自然数n均成立.

所以满足条件的a的最小值为3. ………………………………………………8分 （4）由（1）知f(k)=ak

下面证明：

1f(1)?f(2)?1f(2)?f(4)???1f(n)?f(2n)?6.f(1)?f(n?1)f(0)?f(1)

首先证明0

当0?x?23时,g'(x)<0; 当23?x?1时，g'(x)?0

故g（x）在区间（0，1）上的最小值g(x)21min?g(3)?9?0

所以，当00,即得1x?x2?6x 由0