初中数学数与式提高练习与难题和培优综合题压轴题(含解析)

学习必备 欢迎下载

…①（其中a、b、c为三角形的三边长，s为面

积）．

而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式： s=

…②（其中p=

．）

（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积s；

（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试．

35．斐波那契（约1170﹣1250，意大利数学家）数列是按某种规律排列的一列数，他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第n（n为正整数）个数an可表示为（1）计算第一个数a1； （2）计算第二个数a2；

（3）证明连续三个数之间an﹣1，an，an+1存在以下关系：an+1﹣an=an﹣1（n≥2）； （4）写出斐波那契数列中的前8个数． 36．问题提出

我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差M﹣N，若M﹣N＞0，则M＞N；若M﹣N=0，则M=N；若M﹣N＜0，则M＜N． 问题解决

如图1，把边长为a+b（a≠b）的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小． 解：由图可知：M=a2+b2，N=2ab． ∴M﹣N=a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2． ∵a≠b，∴（a﹣b）2＞0． ∴M﹣N＞0． ∴M＞N．

[（

）n﹣（

）n]．

学习必备 欢迎下载

类比应用

（1）已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为

元/千克和

元/

千克（a、b是正数，且a≠b），试比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低． （2）试比较图2和图3中两个矩形周长M1、N1的大小（b＞c）．

联系拓广

小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图4所示（其中b＞a＞c＞0），售货员分别可按图5、图6、图7三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由．

37．附加题：若a=，b=，试不用将分数化小数的方法比较a、b的大

小．观察a、b的特征，以及你比较大小的过程，直接写出你发现的一个一般结论．

38．解答一个问题后，将结论作为条件之一，提出与原问题有关的新问题，我们把它称为原问题的一个“逆向”问题．例如，原问题是“若矩形的两边长分别为3和4，求矩形的周长”，求出周长等于14后，它的一个“逆向”问题可以是“若矩形的周长为14，且一边长为3，求另一边的长”；也可以是“若矩形的周长为14，求矩形面积的最大值”，等等． （1）设A=

﹣

，B=

，求A与B的积；

（2）提出（1）的一个“逆向”问题，并解答这个问题． 39．能被3整除的整数具有一些特殊的性质：

学习必备 欢迎下载

（1）定义一种能够被3整除的三位数字都立方，再相加，得到一个新数．例如

的“F”运算：把的每一个数位上的数

=213时，则：21336（23+13+33=36）

243（33+63=243）．数字111经过三次“F”运算得 ，经过四次“F”运算得 ，经过五次“F”运算得 ，经过2016次“F”运算得 ．

（2）对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除，例如，一个四位数，千位上的数字是a，百位上的数字是b，十位上的数字为c，个为上的数字为d，如果a+b+c+d可以被3整除，那么这个四位数就可以被3整除．你会证明这个结论吗？写出你的论证过程（以这个四位数为例即可）．

40．观察并验证下列等式： 13+23=（1+2）2=9， 13+23+33=（1+2+3）2=36， 13+23+33+43=（1+2+3+4）2=100，

（1）续写等式：13+23+33+43+53= ；（写出最后结果）

（2）我们已经知道1+2+3+…+n=n（n+1），根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：13+23+33+…+（n﹣1）3+n3= ；（结果用因式乘积表示） （3）利用（2）中得到的结论计算： ①33+63+93+…+573+603 ②13+33+53+…+（2n﹣1）3

（4）试对（2）中得到的结论进行证明．

学习必备 欢迎下载

初中数学数与式提高练习与难题和培优综合题压轴题

(含解析)

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．（2009秋?和平区校级期中）设y=|x﹣1|+|x+1|，则下面四个结论中正确的是（ ） A．y没有最小值

B．只有一个x使y取最小值

D．有无穷多个x使y取最小值

C．有限个x（不止一个）y取最小值

【分析】根据非负数的性质，分别讨论x的取值范围，再判断y的最值问题． 【解答】解：方法一：由题意得：当x＜﹣1时，y=﹣x+1﹣1﹣x=﹣2x； 当﹣1≤x≤1时，y=﹣x+1+1+x=2； 当x＞1时，y=x﹣1+1+x=2x；

故由上得当﹣1≤x≤1时，y有最小值为2； 故选D．

方法二：由题意，y表示数轴上一点x，到﹣1，1的距离和，这个距离和的最小值为2，此时x的范围为﹣1≤x≤1， 故选D．

【点评】本题主要考查利用非负数的性质求代数式的最值问题，注意按未知数的取值分情况讨论．

2．（2016秋?郑州月考）下列说法错误的是（ ） A．2是8的立方根 B．±4是64的立方根 C．﹣是的平方根

D．4是

的算术平方根

【分析】正数平方根有两个，算术平方根有一个，立方根有一个． 【解答】解：A、2是8的立方根是正确的，不符合题意； B、4是64的立方根，原来的说法错误，符合题意；