2021高考数学一轮复习第3章导数及其应用第1节变化率与导数导数的计算教学案文

第3章 导数及其应用

全国卷五年考情图解 高考命题规律把握 1.考查形式 本章内容在高考中一般是“一大一小”. 2.考查内容 (1)导数的几何意义一般在选择题或填空题中考查，有时与函数的性质相结合出现在压轴小题中. (2)解答题一般都是两问的题目，第一问考查曲线的切线方程、函数的单调区间、函数的极值点等，属于基础问题．第二问利用导数证明不等式，已知单调区间或极值求参数的取值范围，函数的零点等问题. 3.备考策略 (1)熟练掌握导数的运算公式，重点研究导数的几何意义、导数与函数的单调性、导数与极(最)值、导数与不等式、导数与函数的零点等问题. (2)加强数形结合、分类讨论等数学思想的应用. 第一节 变化率与导数、导数的计算 [最新考纲] 1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义.2.能根据导数定义求函123

数y＝C(C为常数)，y＝x ，y＝x，y＝x，y＝，y＝x的导数.3.能利用基本初等函数的导

x数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．

(对应学生用书第39页)

1．导数与导函数的概念

(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

- 1 -

称函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率为函数y＝f(x)在点x0处的导数，用f′(x0)表示，记作f′(x0)＝lim

Δx→0

fx0＋Δx－fx0

.

Δx(2)导数的几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

(3)函数f(x)的导函数

如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：

fx0＋Δx－fx0f′(x)＝lim ，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的

ΔxΔx→0

导函数，通常也简称为导数．

2．导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)

函数 导函数 函数 导函数 y＝c(c是常数) y＝xα(α是实数) y＝ax (a＞0，a≠1) y′＝0 y′＝αxα－1 y′＝axln_a特别地(e)′＝e xxy＝sin x y＝cos x y＝tan x y′＝cos_x y′＝－sin_x y′＝12 cosxy＝logax (a＞0，a≠1) y′＝特别xln a1地(ln x)′＝ 1y＝cot x y′＝－12 sinxx3.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

′

fx?f′xgx－fxg′x?(3)?＝(g(x)≠0)． ?2

[gx]?gx?[常用结论]

1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)．

3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．

( )

- 2 -

(2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．

(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线． (4)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x． [答案](1)× (2)× (3)× (4)× 二、教材改编

1．函数y＝xcos x－sin x的导数为( ) A．xsin x C．xcos x

B．－xsin x D．－xcos x

( ) ( ) ( )

B [y′ ＝x′cos x＋x(cos x)′－(sin x)′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x．] 2．曲线y＝x＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( ) A．－9 B．－3 C．9 D．15

C [因为y＝x＋11，所以y′＝3x，所以y′|x＝1＝3，所以曲线y＝x＋11在点P(1,12)处的切线方程为y－12＝3(x－1)．令x＝0，得y＝9.故选C.]

3．函数y＝f(x)的图像如图，则导函数f′(x)的大致图像为( )

3

2

3

3

A B C D

B [由导数的几何意义可知，f′(x)为常数，且f′(x)＜0.]

4．在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t＋6.5t＋10，则运动员的速度v＝________m/s，加速度a＝________m/s.

－9.8t＋6.5 －9.8 [v＝h′(t)＝－9.8t＋6.5，a＝v′(t)＝－9.8.]

2

2

(对应学生用书第40页)

⊙考点1 导数的计算

(1)求函数的导数要准确地把函数分解为基本初等函数的和、差、积、商，再利用

运算法则求导数．

(2)在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，记准公式，避免运算错误．

已知函数解析式求函数的导数

- 3 -

求下列各函数的导数：

(1)y＝x2x；(2)y＝tan x； (3)y＝2sin－1.

2

32

2

x[解](1)先变形：y＝2x， 1322

再求导：y′＝(2x)′＝x.

2sin x(2)先变形：y＝，再求导：

cos x32

y′＝

sin xsin x′·cos x－sin x·cos x′1

′＝＝2. 2

cos xcosxcosx(3)先变形：y＝－cos x，

再求导：y′＝－(cos x)′＝－(－sin x)＝sin x. [逆向问题] 已知f(x)＝x(2 017＋ln x)，若f′(x0)＝2 018，则x0＝________. 1 [因为f(x)＝x(2 017＋ln x)， 所以f′(x)＝2 017＋ln x＋1＝2 018＋ln x， 又f′(x0)＝2 018， 所以2 018＋ln x0＝2 018，所以x0＝1.] 求导之前先对函数进行化简减小运算量．如本例(1)(3)． 抽象函数求导

已知f(x)＝x＋2xf′(1)，则f′(0)＝________.

－4 [∵f′(x)＝2x＋2f′(1)， ∴f′(1)＝2＋2f′(1)， ∴f′(1)＝－2，

∴f′(0)＝2f′(1)＝2×(－2)＝－4.]

赋值法是求解此类问题的关键，求解时先视f′(1)为常数，然后借助导数运算

法则计算f′(x)，最后分别令x＝1，x＝0代入f′(x)求解即可．

1.已知函数f(x)＝eln x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________．

1xxe [由题意得f′(x)＝eln x＋e·，则f′(1)＝e.]

x2

x2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝________.

- 4 -

2