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概率论与数理统计A卷评分标准(本科48学时) 共4页 第1页
2013－2014学年 第2学期
概率论与数理统计A卷评分标准(本科48学时)
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）. 1.已知P(A)?0.8,P(B)?0.9,P(B|A)?0.6，则P(AB)等于
（A）0.9； （B）0.12； （C）0.72； （D）0.78.
答：（D ）
2．设F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数，则下列选项不正确的是 （A）F(x,y)?P(X?x,Y?y)； （B）F(??,??)?1； （C）F(??,0)?0； （D）F(??,0)?1.
答：（D ）
3. 设随机变量X服从正态分布N(0,?2)，则概率P{|X|??}随着?的增加而 （A）单调增加； （B）单调减小； （C）保持不变； （D）增减不定.
答：（C ）
224. 若随机变量X服从正态分布N(?1,?1),Y服从正态分布N(?2,?2), 则X,Y的联合分布
（A）一定是二维正态分布，且X,Y的相关系数?XY?0； （B）未必是二维正态分布； （C）一定是二维正态分布，且X,Y的相关系数?XY无法确定； （D）以上选项都不对.
答：（B ）
5. 已知随机变量X1服从正态分布N(0,2)，X2服从正态分布N(0,5)，且X1,X2相互独立. 设Y?aX12?bX22，若Y服从?2(2)分布，则a,b的取值分别为
（A）2,5； （B）12,15； （C）4,25； （D）14,125.
答：（B ） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）.
6. 在50张彩票中有5张奖票，甲、乙、丙三人依次不放回抽取其中一张彩票，则丙中奖的概率为0.1.
12??X?10X7．已知离散型随机变量的分布律为??，则P(X?1)=0.8.
?P0.30.40.10.2?8. 若随机变量X,Y相互独立，且DX?DY?2,则D(X?3Y)=20.
9．某电子计算机主机有100个终端，每个终端有20%的可能处于闲置状态，若各终端被使用与否是相互独立的.由中心极限定理，至少有15个终端闲置的概率约为0.8944（备用数据：?(1.25)?0.8944,?(2)?0.9772）.
10.已知按某工艺生产的金属纤维的长度X(单位：mm)服从正态分布N(?,?2)，现测定了16根此种金属纤维的长度，得样本均值x?2.4，样本方差s2?0.64，则?的置信水
3)结果保留到小数点后2位）平为0.95的置信区间为(1.97,2.8（（备用数据：
t0.025(15)?2.1315,t0.05(15)?1.7531,t0.025(16)?2.1199,t0.05(16)?1.7459）.
三、解答题（本大题共6小题，每小题10分，共60分）.
11.在数字通讯中，由于随机因素的干扰，当发出信号“0”时，收到信号“0”、“1”和“不清”的概率分别为0.7、0.2和0.1；当发出信号“1”时，收到信号“0”、“1”
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和“不清”的概率分别为0.1、0.8和0.1，若整个发报过程中“0”和“1”出现的概率分别是0.6和0.4，问若收到信号“1”，发出的确实是信号“1”的概率. 解：设A表示发出信号“1”，B表示收到信号“1”,则所求概率为
P(AB)P(A|B)?...........................................................................(2')P(B)P(B|A)P(A) ?...........................................(6')
P(B|A)P(A)?P(B|A)P(A)0.8?0.48??...................................................(10')0.8?0.4?0.2?0.611?3x,0?x?1?12.已知连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)??2 , 求：
?其他?0,（1）P(0?X?12)；（2）EX. 解：（1）由概率密度函数的定义
P(0?X?12)??1203122f(x)dx??xdx?...............(5')
204（2）由题意
31??xdx?34...................................................(10')20?23,0?x?1,0?y?x?113．设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数f(x,y)??,
0,其他?求:（1）P(Y?X2)；（2）(X,Y)关于X的边缘概率密度函数fX(x) ；（3）条件概率
EX??????xf(x)dx.....................................................(7')P(Y?12|X?13).
解：（1）由题意
P(Y?X2)??{(x,y):y?x2}x?121dxdy........................................................(3') 2??0x3?79.......................................................................(4')（2）由边缘概率密度函数的定义
??f(x,y)dxdy..........................(2')fX(x)??????f(x,y)dy...............................................................(5')?2x?1?2 dy,0?x?1??0?(x+1),0?x?1??3??3...............(7')?其它 ?其他?0,?0,（3） 在X?13的条件下，Y关于X的条件概率密度函数为
0y?43f(13y,)?34,? fY|X(y|13 ?)??.............................(9')其它fX(13)?0,因此 P(Y?12|X?13)??12??fY|X(y|13)dy?38..................................(10')
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0,x??1??14.已知连续型随机变量X的分布函数为F(x)??A(arctanx?B),?1?x?1, 求：（1）
?1,x?1?常系数A,B；（2）P{0?X?33}；（3）X的概率密度函数f(x).
解：（1）由分布函数的性质
F(?1?)?F(?1?)?0?A(B??4)..................................(1') F(1?)?F(1?)?A(B??4)?1.......................................(2')
因此可得 A?2?,B??4.......................................................................(3') （2）由分布函数的性质
P{0?X?33}?F(33)?F(0)?2?(?6??4)?12?13......(6')
2?,?1?x?1?2X（3）的概率密度函数f(x)???(1?x)............................(10')
?0,其他?15.已知二元离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为
X 0 ?1 1 Y 0 0.1 0.2 a b 0.1 0.2 1 若P(min{X,Y}??1)?0.4, 求：(1）常数a,b；（2）X,Y的协方差Cov(X,Y).
解：（1）由题意
0.4?P(min{X,Y}??1)?P(X??1,Y?0)?P(X??1,Y?1)?0.1?b......(2') a?b?0.6?1.................................................................................................(3') 故a?0.1,b?0.3............................................................................................(5') （2）由题意可算得 EX??0.1,EY?0.6..................................................(7') 又XY的分布律为 0 1 XY ?1 0.3 0.5 0.2 P 故E(XY)??0.1...........................................................................................(8') 因此Cov(X,Y)?E(XY)?EXEY??0.1?0.1?0.6??0.04.......................(10')
?4x2?x2e?,x?0?316.已知总体X的概率密度函数为f(x)????, 其中?(??0)是未知参数. ?0,其他?$. 若X1,X2,L,Xn是来自总体X的简单样本，求参数?的极大似然估计量?2解：由题意，极大似然函数为
L(x1,L,xn;?)??f(xi)??i?1i?1nn4x2i??e3?xi2?2........................(3')
n故对数似然函数为
lnL(x1,L,xn;?)?n(ln4?ln?)?2?lnxi?3nln??i?1n1?2?x..............(7')
2ii?1 3
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dlnL(x1,L,xn;?)3n2n2令 ???3?xi?0.............................(9')
d???i?1$?可得?的极大似然估计量?2n2?Xi................................................(10') 3ni?1四、证明题（本大题共1个小题，5分）.
17.设g(x)是正值不减连续函数，若X为连续型随机变量且E[g(X)]存在，证明：对任
1意实数a，有P{X?a}?E[g(X)].
g(a)证明：由题意
P{X?a}????{x?a}f(x)dx................................................................(1')g(x)f(x)dx........................................................(3'){x?a}g(a) 1???g(x)f(x)dx...................................................(4')???g(a)1?E[g(X)].............................................................(5')g(a)五、应用题（本大题共1个小题，5分）. 18．某商店销售某种季节性商品（单位：箱），每售出一箱可获利5百元，过季未售出的商品每箱亏损1百元.以X表示该季节此种商品的销售量，据以往销售情况知X等可能的取区间[1,100]中的任一整数，问商店应提前贮备多少箱该种商品才能使获利的期望值达到最大.
解：若商店提前贮备t箱该种商品,则获得的利润为
?5X?(t?X),1?X?t?6X?t,1?X?tLt(X)????..........(1')
5t,t?X?100?5t,t?X?100?由题意
1,i?1,2,L,100,...................................(2') P(X?i)?100故获利的期望值为
10011001t1100ELt(X)??Lt(i)P(X?i)?Lt(i)?(6i?t)?5t???100100100i?1i?1i?1i?t+1
1?(?3t2?503t).....................................................................(4')100dELt(X)1d(?3t2?503t)??0, 可得ELt(X)的最大值点为t0?5036?84， 令
dt100dt故商店应提前贮备84箱该种商品才能使获利的期望值达到最大...(5')
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