2009年陕西省高考数学试卷(理科)答案与解析

（Ⅱ）如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若

，求△AOB面积的取值范围．

【考点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】（Ⅰ）先由双曲线标准方程求得顶点坐标和渐近线方程，进而根据顶点到渐近线的

距离求得a，b和c的关系，进而根据离心率求得a和c的关系，最后根据c=得方程组求得a，b和c，则双曲线方程可得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得渐近线方程，设A（m，2m），B（﹣n，2n），根据

综合

得P点

的坐标代入双曲线方程化简整理m，n与λ的关系式，设∠AOB=2θ，进而根据直线的斜率求得tanθ，进而求得sin2θ，进而表示出|OA|，得到△AOB的面积的表达式，根据λ的范围求得三角形面积的最大值和最小值，△AOB面积的取值范围可得．

【解答】解：（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点（O，a）到渐近线ax﹣by=0的距离为

，

∴，

由，得

∴双曲线C的方程为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C的两条渐近线方程为y=±2x． 设A（m，2m），B（﹣n，2n），m＞0，n＞0． 由

得P点的坐标为

，

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将P点坐标代入，化简得．

设∠AOB=2θ，∵又∴记

由S'（λ）=0得λ=1，又S（1）=2，

，∴．

．

，

，

时，

当λ=1时，△AOB的面积取得最小值2，当△AOB的面积取得最大值∴△AOB面积的取值范围是

．

【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程和直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题的能力．

22．（14分）（2009?陕西）已知数列{xn}满足x1=，xn+1=（1）猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论； （Ⅱ）证明：

，n∈N；

*

．

【考点】数列的函数特性；数学归纳法． 【专题】证明题；压轴题． 【分析】（1）对于数列{xn}的单调性的证明，我们可以根据数列的前若干项，归纳推理出数列的单调性，然后再利用数学归纳法进行证明． （2）我们可以将待证的问题进行转化，变形成

的形式，然后结合已知条件

进行证明．

【解答】证明：（1）由x1=，xn+1=∴

，

，

，…

由x2＞x4＞x6猜想：数列{x2n}是递减数列

下面用数学归纳法证明：

（1）当n=1时，已证命题成立

（2）假设当n=k时命题成立，即x2k＞x2k+2

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易知x2k＞0，那么

=

即x2（k+1）＞x2（k+1）+2

也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立 （2）当n=1时，

当n≥2时，易知0＜xn﹣1＜1， ∴∴

，结论成立

∴

=

【点评】本题（1）中的证明要用到数学归纳法，数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．

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