第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题B

为整数），余下部分的体积为120，求x和y。

解：由题意得,15×4×5－5xy＝l20 知 5xy＝300－120＝180 xy＝180÷5＝36

由长方体的长、宽、高分别为15，5，4，知，x<4 y<15 ◎ 满足以上条件的只有36＝3×12， 所以，x＝3，y＝12

11、圆形跑道上等距插着2015面旗子，甲与乙同时同向从某个旗子出发，当甲与乙再次同时回到出发点时，甲跑了23圈，乙跑了13圈。不算起始点旗子位置，则甲正好在旗子位置追上乙多少次？

解：由甲与乙再次同时回到出发点时，甲跑了23圈，乙跑了13圈，知

甲与乙的速度比为：23：13。由甲比乙多跑一圈就追上一次，共追上：23－13＝10（次） 甲要追上乙，甲要比乙多走2015面旗子，根据追及问题的关系式 甲共跑过的旗子数为：2015×（23－13）×23＝4634.5（面）

正好在旗子位置甲追上乙，甲跑的旗子的面数应当是整数，而4634.5只有乘2、4、6、8、10，才能成为整数。可是，追上第10次时，是最后一次，是在起始点上，应当排除。

所以，甲正好在旗子位置追上乙，是在第2、4、6、8次追上时，共有四次。

12、两人进行乒乓球比赛，三局两胜制，每局比赛中，先得11分且对方少于10分者胜；10分后多得2分者胜。两人的得分总和都是31分，一人赢了第一局并且赢得了比赛，那么第二局的比分共有多少种可能？

解：设赢得比赛的为甲，输的为乙。甲第一局获胜，如果第二局又胜，则直接获胜，总分一定比乙多，不符合题意。所以甲第二局输第三局赢．

甲第一、三局都赢，则一、三局至少会比乙多得4分，

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设三场比赛的比分是：a1:b1，a2: b2，a3：b3，并且 a1－b1≥2，a3－b3≥2 由题目条件“两人的得分总和都是31分”可知，乙第二局至少赢甲4分及以上，并且只能以11分取胜．

所以，第二局的比分可以为：0:11、1:11、2:11、??、7:11，共八种。 三、解答下列各囊（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）

13、如右图所示，点M是平行四边形ABCD的边CD上的一点，且DM：MC＝1：2，四边形EBFC为平行四边形，FM与BC交于点G。若三角形FCG的面积与三角形MED的面积之差为l3cm，求平行四边形ABCD的面积。

解：如下图连接BD。

在梯形BCED中，根据梯形蝴蝶定理，由DM：MC＝1：2，知：DE：BC＝EM：MB＝1：2； S△DEM：S△CEM＝S△CEM：S△BCM＝S△DEM：S△BDM＝1：2 如果设S△DEM＝1份。

则，S△CEM＝S△BDM＝2份；S△BCM＝2×2＝4（份） 因为EBFC为平行四边形，且BC为对角线

推知：S△BCF＝S△BCE＝S△BCD＝2＋4＝6（份） 在梯形BMCF中，根据梯形蝴蝶定理，CF：BM＝3：2，知 S△FCG＝6×

233+2＝3.6（份）

2已知“三角形FCG的面积与三角形MED的面积之差为l3cm”，所以， S△BCF＝13÷（3.6－1）×6＝30（平方厘米）

所以，平行四边形ABCD的面积为：30×2＝60（平方厘米）

14．设“一家之言”、“言扬行举”、“举世皆知”、“知行合一”四个成语中的每个汉字代表11个连续的非零自然数中的一个，相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数。如

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果每个成语中四个汉字所代表的数之和都是21，则“行”可以代表的数最大是多少？

解：观察这四个成语，“一、言、举、知、行”这五个字各出现两次，其它汉字只有一次。 由“每个成语中四个汉字所代表的数之和都是21”则这四个成语的数字之和为，即 一＋家＋之＋言＋言＋扬＋行＋?＋合＋一＝21×4＝84

而 从1开始的11个连续自然数的和是：1＋2＋3＋4＋?＋1l＝66 可知 这五个字各出现两次的汉字的和为：84－66＝18

题目要求“行”代表的数目最大，那就让其它四个数字尽可能小。由 l＋2＋3＋4＝10，此时，“行”可以为8.

所以“行”可以代表的数最大是8。这四个成语分别表示的数目为： “一家之言” 所代表的四个数目为：3，5，11，2 “言扬行举” 所代表的四个数目为：2，10，8，1 “举世皆知” 所代表的四个数目为：1，9，7，4 “知行合一” 所代表的四个数目为：4，8，6，3．

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