第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题B

详解第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛小学高年级组B卷题

特级教师 吴迺华

一、填空题（每小题10分，共80分） 1．计算：57.6×

85＋28.8×

1845－14.4×80＋11

12

解：原式＝57.6×

8582921＝57.6×＋57.6×－57.6×20＋11

5528921＝57.6×（＋－20）＋11

5521＝11

25＋（28.8×2）×（

184×

1）－（14.4×4）×（80÷4）＋11

12

2．甲、乙、丙、丁四人共植树60棵，己知，甲植树的棵数是其余三人的二分之一，乙植树的棵数是其余三人的三分之一，丙植树的棵数是其余三人的四分之一，那么丁植树多少棵？

解：本题中的

111、、，单位“1”的量都不相同，可以以甲、乙、丙、丁四人共植树的23411+211+311+4棵数为单位“1”来统一。

甲植树的棵数是其余三人的二分之一，即甲植树的棵数是四人共植棵数的乙植树的棵数是其余三人的三分之一，即乙植树的棵数是四人共植棵数的丙植树的棵数是其余三人的四分之一，即丙植树的棵数是四人共植棵数的所以，丙植树的棵数是：60×（1―

3、当时间为5点8分时，钟表面上的时针与分针成 度的角。 解：分针每分钟走6°，5：00时，分针与时针夹角为：25×6°＝150°

1

； ； ；

11+2―

11+3―

11+4）＝13（棵）

八分钟分针走了8×6°＝48°；时针每分钟走0.5°，八分钟走8×0.5°＝4°。 所以，5：08时，时针与分针成的夹角为：150°－ (48°－4°) ＝106°

4．某个三位数是2的倍数，加1是3的倍数，加2是4的倍数，加3是5的倍数，加4是6的倍数，那么这个数最小为 。

解：换句话说，这个数除以3余2，除以4余2，除以5余2，除以6余2，这样，只要求出3、4、5、6的最小公倍数后，再加上2就可求出。不过，要注意的是：这是个三位数。

[3，4，5，6] ＝60

所以，这个三位数最小为：60×2＋2＝122.

5．贝塔星球有七个国家，每个国家恰有四个友国和两个敌国，没有三个国家两两都是敌国，对于一种这样的星球局势，共可以组成 个两两都是友国的三国联盟。

解：因为每个国家恰有四个友国和两个敌国，没有三个国家两两都是敌国。设这七个国家分别为：A、B、C、D、E、F、G，他们之间的关系如右图：虚线为互为敌对国，实线为两两都是友国的三国联盟。

根据图示，A、B、C、D、E、F、G七个点，排除虚线表示的互为敌对国的线段外，每一个点都可以与另两个不相邻的点连成一个两两都是友国的三国联盟。比如：A与F、D或者C可以连成实线三角形。三角形AFD表示A、F、D为两两都是友国的三国联盟，三角形FCA也表示为F、C、A两两都是友国的三国联盟。

所以，共可以组成7个两两都是友国的三国联盟。

6．由四个互不相同的非零数字组成的没有重复数字的所有四位数之和为106656，则这些四位数中最大的是 ，最小的是 。

解：设这四个数字分别为：A、B、C、D，组成的四位数如：ABCD、AB DC、ACBD、ACDB ADBC、ADCB、??

2

共能组成的四位数共有：4×3×2×1＝24（个）

在这24个三位数中，以A开头＝以B开头＝以C开头＝以D开头的个数=24÷4＝6（个） 也就是说A、B、C、D在四个数字分别在千位、百位、十位、个位各出现6次，已知所组成的没有重复数字的所有四位数之和为106656，即

6×（A＋B＋C＋D）×1111＝106656 化简，知A＋B＋C＋D＝16 推知，这四个互不相同的非零数字为：16＝9＋1＋4＋2 这些四位数中最大的是：9421，最小的是：1249。

7、如右图，三角形ABC的面积为1，DC：OB＝1：3，EO：OA＝4：5，则三角形DOE的面积是多少？

解：根据题意OB＝1：3，EO：OA＝4：5，如下图，设S△DOE＝4，则S△AOD＝5，S△BOE＝12，S△AOB＝15，

设S△CDE ＝x， 三角形BCD中，则三角形CDE和三角形BDE同高，所以面积的比等于边长的比，

CEBE＝

x4?12

同样，三角形ACE和三角形ABE同高，所以面积的比等于边长的比，

CEBE12?15xx?4?5144所以， ＝ 解得：x＝

4?1212?1511114所以，三角形DOE的面积是：1×＝

1441354?5?12?15?11

8．三个大于1000的正整数满足：其中任意两个数之和的个位数字都等于第三个数的个位数

＝

x?4?5

字，那么，这三个数之积的末尾三位数字有 种可能数值。底低抵邸砥骶

解：设三个数的个位分别为a、b、c ⑴ 如果a、b、c都相等，则只能都为0；

⑵ 如果a、b、c中有两个相等，则有以下两种情况：

3

①.a、a、c且a＜c，必有c＋a＝10＋，则c＝10，与c为数字矛盾； ②.a、a、c且a＞c，则有c＋a＝a， a＋a＝10＋，则a＝5，c＝0；

⑶.如果a、b、c都不相等，设a＜b＜c，则c＋b＝10＋a，c＋a＝10＋，则c＝10，与c为数字矛盾；

综上三个数的个位分别为0，0，0或0，5，5； ⑴.如果都为0，则乘积末尾三位为000； ⑵.如果为0，5，5

①.如果个位为0的数，末尾3位都为0，则乘积末尾三位为000； ②.如果个位为0的数，末尾2位都为0，则乘积末尾三位为500或000； ③.如果个位为0的数，末尾1位为0

设末尾两位为c0，设另外两个末尾两位为a5，b5 则a5×b5＝100ab＋50（a＋b）＋，

若（＋b）为奇数，则乘积的末两位为75；若（＋）为偶数，则乘积的末两位为25，再乘上c0，无论c为多少，末尾三位只有000，250，500，750这4种．

综上所述，积的末尾三位有000，500，250，750这四种可能．

二、解答下列各题（每小题10分，共40分，要求写出简要过程）

9．将1234567891011的某两位的数字交换能否得到一个完全平方数？请说明理由。 解：不能得到完全平方数。因为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋1＋0＋1＋1＝48 交换数字的位置，其数字和仍然是48。

48是3的倍数，但不是9的倍数，所以不是完全平方数。

10、如右图所示，从长、宽、高为15，5，4的长方体中切割走一块长、宽、高为y，5，x的长方体（x，y

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