2020年红对勾一轮数学理人教版创新方案高考解答题专项训练3

?1?n－12n＋13

＝2＋1－?2?－n＋1

??2

52n＋5

＝2－n＋1，

22n＋5

所以Tn＝5－2n.

5

6．已知等差数列{an}与等比数列{bn}满足：a1＝b1＝1，a2＋b2＝2且a3＝－10b2.

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)设cn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，是否存在正整数k，使得cn≥ck

恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，

?1＋d＋q＝5，2则?

?1＋2d＝－10q，

?d＝2，解得?1

q＝－?2，

?1?n－1

故an＝2n－1，bn＝?－2?.

??

(2)由cn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn可得，

?1??1?2?1?n－1

????－－cn＝1＋3×2＋5×2＋…＋(2n－1)×?－2?，① ???????1??1??1?2?1?3?1?

?－?×cn＝1×?－?＋3×?－?＋5×?－?＋…＋(2n－1)×?－??2??2??2??2??2?

n

，②

??1??1?23

①－②得：2cn＝1＋2??－2?＋?－2?＋…＋

?????

?1?n－1??1?26n＋1?1?n－1

?－??－(2n－1)×?－?n，从而得cn＝＋?－?. 2299??????2?

??

6n＋1?1?

令dn＝9?2?n－1，显然数列{dn}是递减数列，

于是，对于数列{cn}，当n为奇数时，即c1，c3，c5…为递减数列，2

最大项为c1＝1，最小项大于9；

1

当n为偶数时，即c2，c4，c6…为递增数列，最小项为c2＝－2，2

最大项大于零且小于9. 所以数列{cn}的最小项为c2.

故存在正整数k＝2，使cn≥c2恒成立．