函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质专题

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质专题

一、选择题

π??ωx＋??(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像( ) 1．已知函数f(x)＝sin

3??

π?π?

，0?对称 B．关于直线x＝对称 A．关于点?

4?3?

π?π?

C．关于点?，0?对称 D．关于直线x＝对称

3?4?

π???π??π?

解析 由已知，ω＝2，所以f(x)＝sin?2x＋?，因为f??＝0，所以函数图像关于点?，0?

3???3??3?

中心对称，故选A. 答案A 2.要得到函数

A. 向左平移1个单位 B. 向右平移1个单位 C. 向左平移 解析 因为答案 C

π

3.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的部分图象如图所示，则将y＝f(x)的图象

2向右平移

π

个单位后，得到的图象对应的函数解析式为6

个单位 D.向右平移

,所以将

个单位

个单位,故选C.

的图像，只要将函数

的图像（ ）

向左平移

( )． A．y＝sin 2x

B．y＝cos 2x π??2x－?? D．y＝sin

6??

2π??

2x＋?? C．y＝sin

3??

π311ππ3π2π??

2×＋φ??解析 由所给图象知A＝1，T＝－＝，T＝π，所以ω＝＝2，由sin

641264T??π?π?ππππ??

2x＋2x＋?，?＝1，|φ|<得＋φ＝，解得φ＝，所以f(x)＝sin?则f(x)＝sin?

6?6?2326??π?π?π??

的图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数解析式为y＝sin?2?x－?＋?＝

6?6?6??

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π??

sin?2x－?，故选D.

6??答案 D

4．将函数y＝sin 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则φ的最小值为 π

A. 6

C.

D.

( )． π 12

πB. 3π 4

解析 将函数y＝sin 2x的图象向左平移φ个单位，得到函数y＝sin 2(x＋φ)＝sin(2x＋2φ)的图象，由题意得2φ＝答案 C

5．如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P(x，y)．若?31?

初始位置为P0?，?，当秒针从P0(注：此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y?22?与时间t的函数关系为 π??π

A．y＝sin?t＋?

6??30

( )．

ππ

＋kπ(k∈Z)，故φ的最小值为. 24

π??π

B．y＝sin?－t－?

6??60π??π

D．y＝sin?－t－?

3??30

π

，排除B，D.6

π??π

C．y＝sin?－t＋?

6??30

解析 由题意可得，函数的初相位是

ππ?2π?

?＝60，又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T＝?所以|ω|＝，即ω＝－，

3030?ω?故选C. 答案 C

π

6．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<)的图像如

21

图所示，则当t＝秒时，电流强度是( )

100

A．－5安 B．5安 C．53安 D．10安

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T411

解析由函数图像知A＝10，＝－＝.

230030010012π∴T＝＝，∴ω＝100π.

50ω∴I＝10sin(100πt＋φ)． ?1?

，10?在图像上， 又∵点??300?1??

＋φ? ∴10＝10sin ?100π×300??∴

πππ

＋φ＝，∴φ＝， 326

π??

∴I＝10sin ?100πt＋?.

6??

1π?1?

＋?＝－5. 当t＝时，I＝10sin ?100π×

1006?100?答案A 二、填空题

ππ??ω>0，－≤φ≤?的图像上的两个相邻的最高点和最低7．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)?

22??

点的距离为22，则ω＝________.

解析由已知两相邻最高点和最低点的距离为22，而f(x)max－f(x)min＝2，由勾股定理可得

T2

＝22

2

－22＝2，∴T＝4，∴ω＝

2π

T＝π

. 2

π答案

2

π??ωx－??(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相8．已知函数f(x)＝3sin

6??

π??

同，若x∈?0，?，则f(x)的取值范围是________．

2??

解析 ∵f(x)与g(x)的图象的对称轴完全相同，∴f(x)与g(x)的最小正周期相等，∵ω＞π?πππ5π1?

0，∴ω＝2，∴f(x)＝3sin?2x－?，∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，∴－≤

6?26662?π?π?3???3?

sin?2x－?≤1，∴－≤3sin?2x－?≤3，即f(x)的取值范围是?－，3?.

6?6?2???2?

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?3?

答案 ?－，3?

?2?

?π5π?

?是f(x)的一个单调递增区间，则9．已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|<π)，若?，8??8

φ的值为________． 解析 令

π3ππφ3πφ＋2kπ≤2x＋φ≤＋2kπ，k∈Z，k＝0时，有－≤x≤－，此时224242

πφπ

?－≤，?428π5π??

?是f(x)的一个单调递增区间，则必有?函数单调递增，若?，8??83πφ5π

??4－2≥8，π

?φ≥，?4解得?

πφ≤，?4?答案

π 4

故φ＝

π. 4

π1

10．在函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的一个周期内，当x＝时有最大值，当x92

π?4π1?

＝时有最小值－，若φ∈?0，?，则函数解析式f(x)＝________.

2?92?

1π14π1

解析 首先易知A＝，由于x＝时f(x)有最大值，当x＝时f(x)有最小值－，所29292ππ?2π1π?4ππ???1?

－?×2＝以T＝?，ω＝3.又sin?3×＋φ?＝，φ∈?0，?，解得φ＝，故9?92?326?9??2?

f(x)＝sin?3x＋?. π?1?

答案 sin?3x＋?

6?2?三、解答题

11．已知函数f(x)＝3sin2x＋2cos2x.

π

(1)将f(x)的图像向右平移个单位长度，再将周期扩大一倍，得到函数g(x)的图像，求

12

12

??π?6?

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