第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式

第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式

一、基础知识批注——理解深一点

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 S(α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. C(α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β. T(α±β)：tan(α±β)＝

πtan α±tan β?

α，β，α±β≠＋kπ，k∈Z?.

2?1?tan αtan β?

两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C(α±β)同名相乘，符号反；S(α±β)异名相乘，符号同；T(α±β)分子同，分母反.

2．二倍角公式

S2α：sin 2α＝2sin αcos α.

C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. T2α：tan 2α＝

kπππ2tan α?

＋，k∈Z?. 2α≠kπ＋且α≠224?1－tanα?

αα3α

二倍角是相对的，例如，是的二倍角，3α是的二倍角．

242

二、常用结论汇总——规律多一点

1＋cos 2α1－cos 2α

(1)降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.

22(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α. (3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)．

?其中sin φ＝b，cos φ＝a?(4)辅助角公式：asin x＋bcos x＝a＋bsin(x＋φ)??.

a2＋b2a2＋b2??22三、基础小题强化——功底牢一点

?一?判一判?对的打“√”，错的打“×”?

(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( )

(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) (3)公式tan(α＋β)＝

tan α＋tan β

可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，

1－tan αtan β

且对任意角α，β都成立．( )

(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (二)选一选

1

1．(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝，则cos 2α＝( )

38

A. 97C．－ 9

7 B. 98

D．－ 9

1?271

解析：选B ∵sin α＝，∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×??3?＝9. 32．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A．－

3

2

B.

3 2

1C．－ 21 D.

2

1

解析：选D 原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝. 2π

θ－?＝( ) 3．设角θ的终边过点(2,3)，则tan??4?1

A. 5C．5

1

B．－

5 D．－5

3－12tan θ－1π3?解析：选A 由于角θ的终边过点(2,3)，因此tan θ＝，故tan??θ－4?＝1＋tan θ＝32

1＋21＝. 5

(三)填一填 4．已知cos α＝

ππ12

0，?，则cos?α－?＝________. ，α∈??2??4?13

π1250，?，∴sin α＝1－cos2α＝， ，α∈??2?1313

解析：∵cos α＝

πππ12252172

α－?＝cos αcos＋sin αsin＝×＋×＝∴cos?. ?4?4413213226

答案：172

26

5．sin 15°＋sin 75°＝________. 解析：依题意得sin 15°＋sin 75° ＝cos 75°＋sin 75° ＝2cos(75°－45°) ＝62

. 答案：

62

考点一 三角函数公式的直接应用

[典例] (1)已知sin α＝3π5，α∈??2，π??，tan β＝－12，则tan(α－β)的值为(A．－2

11

B.211 C.11 D．－11

2

2

(2)(2019·呼和浩特调研)若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为( A．－

229

B．－

42

9

C.22

D.4299

[解析] (1)因为sin α＝3π5，α∈??2，π??， 所以cos α＝－1－sin2α＝－4

5，

所以tan α＝sin αcos α＝－3

4. 所以tan(α－β)＝

tan α－tan β1＋tan αtan β

＝－211. (2)因为sin(π－α)＝sin α＝13，π

2≤α≤π，

所以cos α＝－1－sin2α＝－

22

3

， ) )

1?22?42所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××－＝－.

3?93?[答案] (1)A (2)B

[解题技法] 应用三角公式化简求值的策略

(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．

(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． [题组训练]

πcos 2α1

0，?，则1．已知sin α＝＋cos α，且α∈?的值为( ) ?2?3π?sin??α＋4?A．－

2 3

B.

2 3

1C．－ 31 D.

3

11

解析：选A 因为sin α＝＋cos α，所以sin α－cos α＝，

33cos2α－sin2αcos 2α

所以＝

πππ?sin??α＋4?sin αcos4＋cos αsin 41

3?cos α－sin α??cos α＋sin α?2

＝＝＝－. 322

?sin α＋cos α?22

－π3π?π4

，，则sin?2α＋?的值为________． 2．已知sin α＝，且α∈?3??22??5π3π?π4

，，所以α∈?，π?， 解析：因为sin α＝，且α∈??22??2?5所以cos α＝－1－sin2α＝－

4?231－?＝－. ?5?5

247

因为sin 2α＝2sin αcos α＝－，cos 2α＝2cos2α－1＝－.

252524＋73πππ

2α＋?＝sin 2αcos＋cos 2αsin＝－所以sin?. 3??335024＋73

答案：－

50

考点二 三角函数公式的逆用与变形用

[典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.