2017年山东省菏泽市中考数学试卷(含答案解析)

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的性质，圆周角定理，三角函数的定义，正确的识别图形是解题的关键．

23．（10分）（2017?菏泽）正方形ABCD的边长为6cm，点E、M分别是线段BD、AD上的动点，连接AE并延长，交边BC于F，过M作MN⊥AF，垂足为H，交边AB于点N．

（1）如图1，若点M与点D重合，求证：AF=MN；

（2）如图2，若点M从点D出发，以1cm/s的速度沿DA向点A运动，同时点E从点B出发，以

cm/s的速度沿BD向点D运动，运动时间为t s．

①设BF=y cm，求y关于t的函数表达式； ②当BN=2AN时，连接FN，求FN的长．

【分析】（1）根据正方形的性质得到AD=AB，∠BAD=90°，由垂直的定义得到∠AHM=90°，由余角的性质得到∠BAF=∠AMH，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）①根据勾股定理得到BD=6

，由题意得，DM=t，BE=

t，求得AM=6﹣t，DE=6

﹣

t，

根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；

②根据已知条件得到AN=2，BN=4，根据相似三角形的性质得到BF=得方程

=

，于是得到结论．

，由①求得BF=

，

【解答】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD=AB，∠BAD=90°， ∵MN⊥AF， ∴∠AHM=90°，

∴∠BAF+∠MAH=∠MAH+∠AMH=90°， ∴∠BAF=∠AMH，

在△AMN与△ABF中，∴△AMN≌△ABF， ∴AF=MN；

（2）①∵AB=AD=6， ∴BD=6

，

t， t，

，

由题意得，DM=t，BE=∴AM=6﹣t，DE=6∵AD∥BC， ∴△ADE∽△FBE， ∴∴y=

，即；

﹣

，

②∵BN=2AN， ∴AN=2，BN=4，

由（1）证得∠BAF=∠AMN，∵∠ABF=∠MAN=90°， ∴△ABF∽△AMN， ∴

=

，即，

， =

，

∴BF=

由①求得BF=∴

=

，

∴t=2， ∴BF=3， ∴FN=

=5cm．

【点评】本题主要考查正方形的性质和相似三角形、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点的综合应用．

24．（10分）（2017?菏泽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），与过A点的直线相交于另一点D（3，），过点D作DC⊥x轴，垂足为C．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点P在线段OC上（不与点O、C重合），过P作PN⊥x轴，交直线AD于M，交抛物线于点N，连接CM，求△PCM面积的最大值；

（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）把B（4，0），点D（3，）代入y=ax2+bx+1即可得出抛物线的解析式； （2）先用含t的代数式表示P、M坐标，再根据三角形的面积公式求出△PCM的面积与t的函数关系式，然后运用配方法可求出△PCM面积的最大值；

（3）若四边形DCMN为平行四边形，则有MN=DC，故可得出关于t的二元一次方程，解方程即可得到结论．

【解答】解：（1）把点B（4，0），点D（3，），代入y=ax2+bx+1中得，

，

解得：，

∴抛物线的表达式为y=﹣x2+

x+1；

（2）设直线AD的解析式为y=kx+b， ∵A（0，1），D（3，），

∴，

∴，

∴直线AD的解析式为y=x+1， 设P（t，0），

∴M（t，t+1）， ∴PM=t+1， ∵CD⊥x轴， ∴PC=3﹣t， ∴S△PCM=PC?PM=

（3﹣t）（t+1），

，

∴S△PCM=﹣t2+t+=﹣（t﹣）2+∴△PCM面积的最大值是（3）∵OP=t，

∴点M，N的横坐标为t， 设M（t，t+1），N（t，﹣t2+∴|MN|=|﹣t2+

；

t+1），

t+1﹣t﹣1|=|﹣t2+t|，CD=，

如图1，如果以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形， ∴MN=CD，即﹣t2+t=， ∵△=﹣39，

∴方程﹣t2+t=无实数根， ∴不存在t，

如图2，如果以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形， ∴MN=CD，即t2﹣t=， ∴t=∴当t=

，（负值舍去），

时，以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形．