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(2)当n是奇数时，我们把Sn＝(1＋n)3n÷2改写成Sn＝［(1＋n)÷2］3n，n是奇数，［(1＋n)÷2］是奇数或偶数。
这就是说，当我们把一个自然数N分解成两个因数的积时，至少有一个因数是奇数，N才有可能写成若干个连续自然数的和。为了进一步发现规律，先从比较简单的情况入手。
(1)设N＝536，取n＝5，6就是5个连续自然数的中间数，5个连续自然数是4，5，6，7，8。
(2)设N＝534，取n＝5，4就是5个连续自然数的中间数，5个连续自然数是2，3，4，5，6。
(3)设N＝533，取n＝5，3就是5个连续自然数的中间数，5个连续自然数是1，2，3，4，5。
(4)设N＝532，取n＝5，2不可能成为5个连续自然数的中间数，无解。
一般地说，当N＝pq，其中p、q都是自然数，并且p是奇数，p＜2q时，N可以写成p个连续自然数的和，q是中间数，最小的自然数是q－(p－1)÷2，最大的自然数是q＋(p－1)÷2。
对于上面的(4)，N＝532，把它改写成N＝(5÷2)3(232)，取n＝232＝4，5÷2是中间两个自然数的平均数，中间的两个数是5÷2－0.5＝2和5÷2＋0.5＝3，4个连续自然数是1，2，3，4。
一般地说，当N＝pq，其中p、q都是自然数，并且p是奇数，p＞2q时，N可以写成2q个连续自然数的和，p÷2的结果是中间两个数的平均数，中间两个数是p÷2－0.5和p÷2＋0.5，最小的自然数是(p－1)÷2－(q－1)，最大的自然数是(p＋1)÷2＋(q－1)。
在实际应用中，当所求连续自然数的个数不多时，可以先写出中间数，再根据自然数的个数向两边续写，不必先求出最小数和最大数。 例1 把64写成若干个连续自然数的和。
解：64＝26，不含有除了1以外的奇数因数，无解。 例2 把35写成若干个连续自然数的和。
解：(1)35＝537，并且5＜237，所以35可以写成5个连续自然数的和，中间数是7，最小的自然数是7－(5－1)÷2＝5，最大的自然数是7＋(5－1)÷2＝9，这5个连续自然数是5，6，7，8，9。
(2)35＝735，并且7＜235，所以35可以写成7个连续自然数的和，中间数是5，最小的自然数是5－(7－1)÷2＝2，最大的自然数是5＋(7－1)÷2＝8，这7个连续自然数是2，3，4，5，6，7，8。
例3 把92写成若干个连续自然数的和。
解：92＝4323，并且23＞234，所以92可以写成234＝8个连续自然数的和，中间两个数是23÷2－0.5＝11和23÷2＋0.5＝12，最小的自然数是(23－1)÷2－4＋1＝8，最大
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的自然数是(23＋1)÷2＋4－1＝15，这8个连续自然数是8，9，10，11，12，13，14，15。 例4 把108写成若干个连续自然数的和。
解：(1)108＝3336,并且3＜2336，可以写成3个连续自然数的和，中间数是36，这3个连续自然数是35，36，37。
(2)108＝4327，并且27＞234，108可以写成234＝8个连续自然数的和，最小的自然数是(27－1)÷2－4＋1＝10，最大的自然数是(27＋1)÷2＋4－1＝17，这8个连续自然数是10，11，12，13，14，15，16，17。
(3)108＝9312，并且9＜2312，所以108可以写成9个连续自然数的和，最小的自然数是12－(9－1)÷2＝8，最大的自然数是12＋(9－1)÷2＝16，这9个连续自然数是8，9，10，11，12，13，14，15，16。
例5 某个自然数，可以表示成9个连续自然数的和，也可以表示成10个连续自然数的和，还可以表示成11个连续自然数的和。那么符合以上条件的最小的自然数是多少？(2005年小学数学奥林匹克决赛试题)
解：试算发现，奇数个连续自然数的和，能被自然数的个数整除；偶数个连续自然数的和能被自然数的个数的一半整除。题中连续自然数的个数分别是9、10、11，所以，这些连续自然数的和应该同时能被9、11和10的一半5整除，因此，符合条件的最小的自然数是9、11和5的最小公倍数931135＝495。
495＝9355，9个连续自然数是：51、52、53、54、55、56、57、58、59； 495＝5399，10个连续自然数是：45、46、47、48、49、50、51、52、53、54； 495＝11345，11个连续自然数是：40、41、42、43、44、45、46、47、48、49、50。
例6 有许多连续自然数的和是1000，那么符合条件的自然数最多有多少个？ 解：把1000分解成两个最接近的因数的积，1000＝25340，因为25是奇数，所以，可以把40看作25个连续自然数的中间数，这25个自然数中最小的是40－(25－1)÷2＝28，最大的是40＋(25－1)÷2＝52，这25个自然数是28，29，30，??，52。因此，符合条件的自然数最多有25个。
现在让我们从求连续自然数的和Sn，引申到求连续自然数的平方和S平方与立方和S立方。为了发现规律，取n＝1，2，3，4，5。
(1)求连续自然数的立方和：S立方＝13＋23＋33＋?＋n3。 n 1 2 3 4 5 Sn 1 1+2=3 1+2+3=6 1+2+3+4=10 1+2+3+4+5=15 S立方 1 1+8=9 1+8+27=36 1+8+27+64=100 1+8+27+64+125=225 观察发现：S立方＝(Sn)2，即S立方＝[n(n＋1)÷2]2。 (2)求连续自然数的平方和：S＝12＋22＋32＋?＋n2。 n 1 2 3 4 5 Math-y 18
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Sn 1 1+2=3 1+2+3=6 1+2+3+4=10 1+2+3+4+5=15 S平方 1 1+4=5 1+4+9=14 1+4+9+16=30 1+4+9+16+25=55 试算发现：S平方＝Sn3(2n＋1)÷3＝n(n＋1)(2n＋1)÷6。 例7 计算 13＋23＋33＋?＋103＝？ 解：原式＝[103(10＋1)÷2]2＝3025。
例8 计算 12＋22＋32＋?＋102＝?
解：原式＝103(10＋1)3(2310＋1)÷6＝385。
练 习 八
1．把60写成若干个连续自然数的和，有哪些不同的方法？
2．某个自然数，可以表示成7个连续自然数的和，也可以表示成8个连续自然数的和，还可以表示成9个连续自然数的和。那么符合以上条件的最小的自然数是多少？
3．600最多可以写成多少个连续自然数的和？写出这些连续自然数。
4．把2002写成若干个连续自然数的和，有许多种方法。请至少写出其中的3种。
5．在一条直线上有10个点，以这些点为端点的线段有多少条？
6．从一个120°角的顶点，向角内引出10条射线，在这个图形中一共有多少个角？ 7．一个长方形，连接邻边或对边上的两个点，作出10条线段，这些线段最多可以把长方形分成几部分？
8．一张10310的方格纸，方格的边长是1，在这张纸上一共有多少个正方形？这些正方形的总面积是多少？
9．计算 113＋123＋133＋?＋1003＝？
10．计算 1＋2＋3＋?＋999＋1000＋999＋?＋3＋2＋1＝？
11．从1到500这500个整数中，去掉所有的平方数，剩下的整数的和是多少？(2004年全国奥赛题)
第九讲 乘方与尾数
我们知道，535可以记作52，23232可以记作23。像这种求几个相同因数的积的运算叫做乘方。通常把52叫做5的二次方；23叫做2的三次方； 而167叫做16的七次方，表示7个16连乘。二次方又叫平方，三次方又叫立方。
一个自然数的末位(个位)数字，叫做这个自然数的尾数。事实上，我们已经有了不少应用尾数的知识解决问题的经验，只是不知道尾数这个名称罢了。比如，只要稍加思索，就能判断下面的计算结果是错误的：
(1)3967182＋5784691＝9751874。 (2)78096314523＝1134188209。 (3)1253＝1953126。
因为经验告诉我们：(1)中和的个位数应该是2＋1＝3；(2)中积的个位数应该是633＝18的个位数8；(3)中立方数的个位数应该是53535＝125的个位数5。 数学上，把上面的知识概括为：
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(1)两个数之和(或差)的尾数，等于这两个数的尾数之和(或差)的尾数； (2)两个数之积的尾数，等于这两个数的尾数之积的尾数。 关于尾数，还有许多其他的用途。 例1 求(1)132333?36789的尾数；
(2)1!＋2!＋3!＋?＋6789! 的尾数。
其中n!＝132333?3(n－1)3n，表示从1开始的n个连续自然数的积，称为“n的阶乘”。
解：(1)当真必需求出这6789个因数的尾数的积，才能得到结果吗？当然不是，因为它的第2个因数2，与第5个因数5的乘积是10，而10的尾数是0，0再与任何数相乘，尾数都是0，所以这6789个因数的积的尾数是0。
(2)先计算n!的尾数： 1!＝1，尾数是1； 2!＝132＝2，尾数是2； 3!＝13233＝6，尾数是6； 4!＝1323334＝24，尾数是4； 5!＝132333435＝120，尾数是0； 6!＝5!36＝12036，尾数也是0； ??
6789!＝5!36373?36789，尾数必定还是0。
所以，原式得数的尾数等于1＋2＋6＋4＝13的尾数，是3。
例2 下面三个数中只有一个数是相邻两个自然数的积，这个数是多少？ (1)17553 (2)46872 (3)78509
解：首先，让我们通过试算，看一看相邻两个自然数的积的尾数有什么特征。 尾数 132 2 233 6 334 2 435 0 536 0 637 2 738 6 839 2 930 0 031 0 原来相邻两个自然数的积的尾数只能是2、6、0，而不会是1，3，4，5，7，8，9。因此，符合要求的数是46872。
例3 下列各数中，哪一个数平方数？ (1)19998 (2)2037 (3)17689 (4)1882
解：仍然用例2的思路，先通过试算，看一看平方数的尾数有什么特点。 尾数 131 1 232 4 333 9 434 6 535 5 636 6 737 9 838 4 939 1 030 0 Math-y
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