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利用空间向量解立体几何问题
一、基础知识
（一）刻画直线与平面方向的向量
1、直线：用直线的方向向量刻画直线的方向问题，而方向向量可由直线上的两个点来确定
例如：A?2,4,6?,B?3,0,2?，则直线AB的方向向量为AB??1,?4,?4?
2、平面：用平面的法向量来刻画平面的倾斜程度，何为法向量？与平面?垂直的直线称为平面?的法线，法线的方向向量就是平面?的法向量，如何求出指定平面的法向量呢？
（1）所需条件：平面上的两条不平行的直线
（2）求法：（先设再求）设平面?的法向量为n??x,y,z?，若平面上所选两条直线的方向向量分别为a??x1,y1,z1?,b??x2,y2,z2?，则可列出方程组：
?x1x?y1y?z1z?0 解出x,y,z的比值即可 ??x2x?y2y?z2z?0例如：a??1,2,0?,b??2,1,3?，求a,b所在平面的法向量
?x?2y?0?x??2y解：设n??x,y,z?，则有? ，解得：?
2x?y?3z?0z?y???x:y:z??2:1:1 ?n???2,1,1?
（二）空间向量可解决的立体几何问题（用a,b表示直线a,b的方向向量，用m,n表示平面?,?的法向量） 1、判定类
（1）线面平行：a∥b?a∥b （2）线面垂直：a?b?a?b
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（3）面面平行：?∥??m∥n （4）面面垂直：????m?n 2、计算类：
a?bab（1）两直线所成角：cos??cosa,b?
（2）线面角：sin??cosa,m?a?mamm?nmn
（3）二面角：cos??cosm,n?法向量夹角关系而定）
或cos???cosm,n??m?nmn（视平面角与
（4）点到平面距离：设A为平面?外一点，P为平面?上任意一点，则A到平面
AP?nn?的距离为dA???，即AP在法向量n上投影的绝对值。
（三）点的存在性问题：在立体几何解答题中，最后一问往往涉及点的存在性问题，即是否在某条线上存在一点，使之满足某个条件，本讲主要介绍使用空间向量解决该问题时的方法与技巧
1、理念：先设再求——先设出所求点的坐标?x,y,z?，再想办法利用条件求出坐标
2、解题关键：减少变量数量——?x,y,z?可表示空间中的任一点，但题目中所求点往往是确定在某条线或者某个平面上的，所以使用三个变量比较“浪费”（变量多，条件少，无法求解），要考虑减少变量的个数，最终所使用变量的个数可根据如下条件判断：
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（1）直线（一维）上的点：用一个变量就可以表示出所求点的坐标 （2）平面（二维）上的点：用两个变量可以表示所求点坐标 规律：维度=所用变量个数 3、如何减少变量：
（1）直线上的点（重点）：平面向量共线定理——若a∥b????R,使得a??b 例：已知A?1,3,4?,P?0,2,1?，那么直线AP上的某点M?x,y,z?坐标可用一个变量表示，方法如下：AM??x?1,y?3,z?4?,AP???1,?1,?3?——三点中取两点构成两个向量
因为M在AP上，所以AM∥AP?AM??AP ——共线定理的应用（关键）
?x?1????x?1??????y?3?????y?3??，即M?1??,3??,4?3??——仅用一个变量?表示 ?z?4??3??z?4?3???（2）平面上的点：平面向量基本定理——若a,b不共线，则平面上任意一个向量c，均存在?,??R，使得：c??a??b
例：已知A?1,3,4?,P?0,2,1?,Q?2,4,0?，则平面APQ上的某点M?x,y,z?坐标可用两个变量表示，方法如下：AM??x?1,y?3,z?4?,AP???1,?1,?3?,PQ??2,2,?1?，
?x?1????2??x?1???2???故AM??AP??PQ，即??y?3????2???y?3???2?
?z?4??3????z?4?3?????二、典型例题
例1：（2010 天津）在长方体ABCD?A1B1C1D1中，E,F分别是棱BC,CC1上的点，
CF?AB?2CE，AB:AD:AA1?1:2:4 （1）求异面直线EF,A1D所成角的余弦值 （2）证明：AF?平面A1ED B1A1C1D1FABECD全国名校高考数学复习优质学案专题汇编（附详解）
（3）求二面角A1?ED?F正弦值
解：由长方体ABCD?A1B1C1D1得：AA1,AB,AD两两垂直
? 以AA1,AB,AD为轴建立空间直角坐标系
?3?（1）E?1,,0?,F?1,2,1?,A1?0,0,4?,D?0,2,0?
?2??1??EF??0,,1?,A1D??0,2,?4?
?2??cosEF,A1D?EF?A1DEF?A1D??35?2043??
5?cos??3 5（2）AF??1,2,1?，设平面A1ED的法向量为n??x,y,z?
1??A1D??0,2,?4?,DE??1,?,0?
2???2y?4z?0????x:y:z?1:2:1 ?n??1,2,1? 1x?y?0??2?AF∥n ?AF?平面A1ED
（3）设平面EDF的法向量m??x,y,z?
1??DE??1,?,0?,DF??1,0,1?
2??1??x?y?0???x:y:z?1:2:??1? ?m??1,2,??1 2??x?z?0n??1,2,1??cosm,n?5 3m?nmn?42? 63?sin??
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