2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)

∴cos＜＞==．由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，

∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．

【点评】考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象和思维能力，训练了利用空间向量求二面角，中档题． 19．（12分）（2017?新课标Ⅰ）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．

（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95

经计算得=

=9.97，s=

=

≈0.212，其中xi为抽取的第i

个零件的尺寸，i=1，2，…，16． 用样本平均数作为μ的估计值生产过程进行检查？剔除（

﹣3

，用样本标准差s作为σ的估计值

+3

，利用估计值判断是否需对当天的

）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．

≈0.09．

附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．

【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计．

【分析】（1）通过P（X=0）可求出P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论；（2）（ⅰ）由（1）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理； （ⅱ）通过样本平均数、样本标准差s估计而需剔除（

﹣3

+3

、

可知（

﹣3

+3

）=（9.334，10.606），进

）之外的数据9.22，利用公式计算即得结论．

【解答】解：（1）由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974=0.0026，因为P（X=0）=

×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，

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所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，又因为X～B（16，0.0026），所以E（X）=16×0.0026=0.0416； （2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在（抽取的16个零件中，出现尺寸在（

﹣3

﹣3+3

+3

）之外的概率只有0.0026，一天内

）之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很

小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．（ⅱ）由=9.97，s≈0.212，得μ的估计值为

=9.97，σ的估计值为

=0.212，由样本数据可以看出一个零件的尺寸在（

﹣3

+3

﹣3

+3

）

之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除（平均数为

）之外的数据9.22，剩下的数据的

（16×9.97﹣9.22）=10.02，因此μ的估计值为10.02．2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134，

剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为

≈0.09．

（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）≈0.008，因此σ的估计值为

【点评】本题考查正态分布，考查二项分布，考查方差、标准差，考查概率的计算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．

20．（12分）（2017?新课标Ⅰ）已知椭圆C：

+

=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣

1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．

（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．

【考点】K3：椭圆的标准方程；KI：圆锥曲线的综合．

【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题． 【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到P2（0，1），P3（﹣1，P2（0，1），P3（﹣1，

），P4（1，

）三点在椭圆C上．把

）代入椭圆C，求出a2=4，b2=1，由此能求出椭圆C的方程．（2）当斜率不存

在时，不满足；当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），联立，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，

由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l过定点（2，﹣1）．

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【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，P3（﹣1，），P4（1，）两点必在椭圆C上，又P4的横坐标

）三点在椭圆C上．

为1，∴椭圆必不过P1（1，1），∴P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，

把P（1），P（﹣1，20，3）代入椭圆C，得：，解得a2=4，b2=1，∴椭圆C的方程为=1．

证明：（2）①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，yA），B（m，﹣yA）， ∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，∴

=

=

=﹣1，

解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立

，整理，

得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，，x1x2=，则：

====

=﹣1，又t≠1，∴t=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立，

∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1，当x=2时，y=﹣1，∴l过定点（2，﹣1）．

【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．

21．（12分）（2017?新课标Ⅰ）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x． （1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 【考点】52：函数零点的判定定理；6B：利用导数研究函数的单调性． 【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．

【分析】（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；

（2）由（1）可知：当a＞0时才有两个零点，根据函数的单调性求得f（x）最小值，由f（x）min＜0，g（a）=alna+a﹣1，a＞0，求导，由g（a）min=g（e2）=e2lne2+e2﹣1=﹣

﹣

﹣

﹣

﹣

﹣1，g（1）=0，即可求得

a的取值范围．（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；

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（2）分类讨论，根据函数的单调性及函数零点的判断，分别求得函数的零点，即可求得a的取值范围． 【解答】解：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）ex﹣1， ①当a=0时，f′（x）=﹣2ex﹣1＜0，∴当x∈R，f（x）单调递减，

②当a＞0时，f′（x）=（2ex+1）（aex﹣1）=2a（ex+）（ex﹣），令f′（x）=0，解得：x=ln， 当f′（x）＞0，解得：x＞ln，当f′（x）＜0，解得：x＜ln， ∴x∈（﹣∞，ln）时，f（x）单调递减，x∈（ln，+∞）单调递增；

③当a＜0时，f′（x）=2a（ex+）（ex﹣）＜0，恒成立，∴当x∈R，f（x）单调递减， 综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln）是减函数， 在（ln，+∞）是增函数；

（2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，当a＞0时，f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x， 当x→﹣∞时，e2x→0，ex→0，∴当x→﹣∞时，f（x）→+∞，当x→∞，e2x→+∞，且远远大于ex和x， ∴当x→∞，f（x）→+∞，∴函数有两个零点，f（x）的最小值小于0即可， 由f（x）在（﹣∞，ln）是减函数，在（ln，+∞）是增函数， ∴f（x）min=f（ln）=a×（

）+（a﹣2）×﹣ln＜0，∴1﹣﹣ln＜0，即ln+﹣1＞0，

设t=，则g（t）=lnt+t﹣1，（t＞0），求导g′（t）=+1，由g（1）=0，∴t=＞1，解得：0＜a＜1， ∴a的取值范围（0，1）．

方法二：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）ex﹣1， 当a=0时，f′（x）=﹣2ex﹣1＜0，∴当x∈R，f（x）单调递减，

当a＞0时，f′（x）=（2ex+1）（aex﹣1）=2a（ex+）（ex﹣），令f′（x）=0，解得：x=﹣lna，

当f′（x）＞0，解得：x＞﹣lna，当f′（x）＜0，解得：x＜﹣lna， ∴x∈（﹣∞，﹣lna）时，f（x）单调递减，x∈（﹣lna，+∞）单调递增； 当a＜0时，f′（x）=2a（ex+）（ex﹣）＜0，恒成立，∴当x∈R，f（x）单调递减， 综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，

当a＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣lna）是减函数，在（﹣lna，+∞）是增函数； （2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，

②当a＞0时，由（1）可知：当x=﹣lna时，f（x）取得最小值，f（x）min=f（﹣lna）=1﹣﹣ln， 当a=1，时，f（﹣lna）=0，故f（x）只有一个零点，

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