高考数学一轮复习 2.3函数的奇偶性与周期性教案

第三节 函数的奇偶性与周期性

教学目标： 知识与技能：了解函数奇偶性的含义与函数的周期性，会运用函数的图象理解和研究的奇偶性

过程与方法：利用图象的单调性研究函数奇偶性质

情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验数形结合思想，感受图形的对称性及周期性

教学重点：函数的奇偶性质及图象的对称性 教学难点： 利用函数的奇偶性及周期性研究函数 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：

1.奇函数、偶函数的定义

对于函数f(x)的定义域内的任意一个x. (1)f(x)为偶函数?f(-x)=f(x) (2)f(x)为奇函数?f(-x)=-f(x) 2.奇偶函数的性质 (1)图象特征：

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称. (2)定义域的特征：

奇偶函数的定义域关于原点对称，这是判断奇偶性的前提. 3)对称区间上的单调性：

奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性； 偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性. (4)奇函数图象与原点的关系:

如果奇函数f(x)在原点有意义，则f(0)=0 3.周期性

(1)周期函数：T为函数f(x)的一个周期，则需满足的条件： ①T≠0;

②f(x+T)=f(x)对定义域内的任意x都成立.

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期．

(3)周期不唯一：若T是函数y=f(x)的一个周期，则nT(n∈Z,且n≠0)也是f(x)的周期. 二 例题讲解

【典例1】判断下列各函数的奇偶性. (1)f(x)=

(2)f(x)=

【思路点拨】

先求定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义域下，解析式带绝对值号的先尽量去掉，再判断f(-x)与f(x)的关系，分段函数应分情况判断.

【规范解答】(1)由 得x2=3,

∴函数f(x)的定义域为 此时f(x)=0, 因此函数f(x)既是奇函数，又是偶函数.

(2)由 得-1＜x＜0或0＜x＜1. ∴函数f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,1). 此时x-2＜0,|x-2|-2=-x, ∴ 又∵

∴函数f(x)为奇函数.

(3)显然函数f(x)的定义域为：

(-∞，0)∪(0,+∞)，关于原点对称， ∵当x<0时，-x>0，

则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x)；

当x>0时,-x<0，则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x).

综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(-x)=-f(x)成立， ∴函数f(x)为奇函数.

【变式训练】(1)若函数f(x)=3x+3-x与 g(x)=3x-3-x的定义域均为R，则( ) (A)f(x)与g(x)均为偶函数

(B)f(x)为偶函数,g(x)为奇函数 (C)f(x)与g(x)均为奇函数

(D)f(x)为奇函数,g(x)为偶函数 答案 B

(2)判断下列函数的奇偶性.

①f(x)=

答案 都是奇函数

【典例2】(1)(2013·湖南高考)已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于( ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1

(2)(2014·泉州模拟)设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=3x-2x+a(a∈R),则f(-2)=( )

(A)-1 (B)-4 (C)1 (D)4

【思路点拨】(1)利用f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),构造方程组求解. (2)利用函数奇偶性把求f(-2)转化为求f(2)的值.

【规范解答】(1)选B.因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数. 所以f(-1)=-f(1),g(-1)=g(1),

分别代入f(-1)+g(1)=2,

f(1)+g(-1)=4再相加得g(1)=3.

(2)选B.因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=0, 即f(0)=30-2×0+a=0,得a=-1,

所以x≥0时,f(x)=3x-2x-1,所以f(2)=32-2×2-1=4. 所以f(-2)=-f(2)=-4.

【小结】应用函数奇偶性可解决的四类问题及方法 (1)已知函数的奇偶性，求函数值

将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. (2)已知函数的奇偶性求解析式

将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式. (3)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值 利用待定系数法：利用f(x)±f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值. (4)应用奇偶性画图象和判断单调性

利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.

【变式训练】设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=2x2-x，则f(1)=( ) (A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3

【解析】选A.由奇函数的定义有f(-x)=-f(x)，所以f(1)= -f(-1)=-［2×(-1)2+1］=-3.

【典例3】(1)(2012·浙江高考)设函数f(x)是定义在R上的周 期为2的偶函数，当x∈［0,1］时，f(x)=x+1,则

(2)(2012·江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间［-1，1］

上， 其中a,b∈R,若 则a+3b的值为________. 【思路点拨】

(1)先根据周期性缩小自变量，再根据奇偶性把自变量转到区间［0，1］上.

(2)利用周期性可知f(-1)=f(1), 列方程组求解. 【规范解答】(1)∵函数f(x)是周期为2的偶函数，

答案：

(2)因为f(x)的周期为2, 所以 即 又因为 所以

∴3a+2b=-2 ①, 又因为f(-1)=f(1),

所以 即b=-2a ②, 将②代入①，得a=2,b=-4, ∴a+3b=2+3×(-4)=-10. 答案：-10

【小结】判断函数周期性的几个常用结论

若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有：

①f(x+a)=-f(x)(a≠0)，则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期；

② 则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；

③ 则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期. 【提醒】应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内.

【变式训练】设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x+2)=-f(x).当x∈［0,2］时，f(x)=2x-x2. (1)求证：f(x)是周期函数.

(2)当x∈［2,4］时，求f(x)的解析式. (3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 013). 【解析】(1)∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，

∴f(x)是周期为4的周期函数.

(2)当x∈［-2,0］时，-x∈［0,2］，由已知得 f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2,

又f(x)是奇函数，∴f(-x)=- f(x)=-2x-x2, ∴f(x)=x2+2x.

又当x∈［2,4］时，x-4∈［-2,0］, ∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).

又f(x)是周期为4的周期函数，

∴f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8. 从而求得x∈［2,4］时，f(x)=x2-6x+8. (3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1. 又f(x)是周期为4的周期函数,

∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7) =…=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0， ∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 013)=f(0)+f(1)=0+1=1. 三．课堂练习与作业

思考辨析，考点自测，知能巩固