三角函数的最值和综合应用

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三角函数的最值和综合应用

作者：吴文尧

来源：《数学金刊·高考版》2014年第10期

重点：熟悉基本三角函数最值的求法；通过变形、换元等方法把非基本的三角函数化为基本的三角函数或基本的代数函数的最值问题.

难点：含参数的三角函数最值问题；三角函数最值的综合应用问题.

1. 三角函数的值域或最值的考查，一般有以下两种形式：一种是化为一个角的三角函数的形式，如y=Asin（ωx+φ）+k，要注意角的取值范围的考虑；另一种是转化为以某一三角函数为未知数的常见函数问题，如y=f（sinx），要注意数形结合思想的应用. 具体类型有： （1）y=asinx+b（或y=acosx+b）型：利用三角函数的有界性或单调性求解.

（2）y=asinx+bcosx型：引用辅助角化为y=sin（x+φ）的形式再利用三角函数的有界性求解.

（3）y=asin2x+bcosx+c（或y=acos2x+bsinx+c）型：先进行换元，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法或图象法求解.

（4）y=或y=型：用分离常数法化为只在分母上含有变量的关系，再根据有界性求解. （5）y=或y=型：可借助直线的斜率的关系用数形结合的方法求解.

（6）含有sinx±cosx，sinx·cosx型：设t=sinx±cosx，将sinx·cosx转化为t的关系式，化为关于t的函数的最值问题进行处理.

（7）y=asinx+型：利用函数的单调性求解.

2.对于三角函数最值的应用问题通常可用“目标函数”的方法解决，其解题步骤可总结为：“变量→函数→值域”.变量：选择一个量为目标函数的自变量（通常选择某一个角为变量）；函数：求出目标函数的解析式及定义域；最值：求出目标函数的值域，即得所需结论. 例1 （2014年高考新课标卷II）设函数f（x）=sin.若存在f（x）的极值点x0满足x+[f（x0）]2

A. （-∞，-6）∪（6，+∞） B. （-∞，-4）∪（4，+∞）