鲁京津琼专用2020版高考数学一轮复习专题9平面解析几何第67练双曲线练习含解析

第67练 双曲线

[基础保分练]

1．(2019·湛江调研)双曲线－y＝1的焦点到渐近线的距离为( )

4A．2B.2C．1D．3

2．若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则

916|PF2|等于( ) A．11B．9C．5D．3

3．下列方程表示的双曲线的焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是( ) A．x－＝1

4C.－x＝1 4

2

x2

2

x2y2

y2

B.－y＝1 4D．y－＝1

4

2

x2

2

y2

2

x2

y2

4．(2016·全国Ⅰ)已知方程2－2＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，

m＋n3m－n则n的取值范围是( ) A．(－1,3) C．(0,3)

B．(－1，3) D．(0，3)

x2

x2y2

5．设F1，F2分别是双曲线2－2＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°且

ab|AF1|＝3|AF2|，则双曲线的离心率为( ) A.

51015B.C.D.5 222

x2y2

6．(2019·青岛调研)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，则双曲线C的渐

ab近线方程为( ) A．y＝±2x C．y＝±x

1

B．y＝±x

2D．y＝±3x

x2y2

7．(2016·山东改编)已知双曲线E：2－2＝1(a>0，b>0)．若矩形ABCD的四个顶点在E上，

abAB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是( )

A.3B．2C.5D．3

x2y25

8．P是双曲线2－2＝1(a>0，b>0)上的点，F1，F2是其左、右焦点，双曲线的离心率是，且

ab4

1

PF1⊥PF2，若△F1PF2的面积是9，则a＋b的值等于( )

A．4B．5C．6D．7

9．已知方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围是__________________．

2＋mm＋110．已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则双曲线E的离心率为________．

[能力提升练]

x2y2

x2y2

1.如图所示，F1，F2是双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|

ab为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A，B，且△F2AB是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )

A.2＋1B.3＋1C.

2＋13＋1

D. 22

2.如图所示，椭圆C1，C2与双曲线C3，C4的离心率分别是e1，e2与e3，e4，则e1，e2，e3，e4的大小关系是( )

A．e2

x2y2222

3．在平面直角坐标系xOy中，过双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左焦点F作圆x＋y＝a的一

ab条切线(切点为T)交双曲线的右支于点P，若M为FP的中点，则|OM|－|MT|等于( ) A．b－aB．a－bC.

4．(2018·郑州质检)已知P(x，y)(其中x≠0)为双曲线－x＝1上任一点，过点P向双曲

4

a＋b2

D．a＋b

y2

2

2

线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A，B，则△PAB的面积为( ) 2A. 58C. 25

4B. 5

D．与点P的位置有关

x2y2

5．(2017·全国Ⅰ)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半

ab径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．

6．已知F是双曲线C：x－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,66)，当△APF周长

8最小时，该三角形的面积为__________．

答案精析

基础保分练

1．C 2.B 3.C 4.A 5.B 6.D 7.B 8.D 9.(－∞，－2)∪(－1，＋∞) 10.2 能力提升练

1．B [连接AF1，依题意得AF1⊥AF2，∠AF2F1＝30°，则|AF1|＝c，|AF2|＝3c，因此该双|F1F2|2c曲线的离心率e＝＝＝3＋1.]

|AF2|－|AF1|3c－c2

y2

b2

2．A [设椭圆的离心率为e，则e＝1－2，故由题图得0

a2

b2

则e′＝1＋2，故由题图得1

a2

3．A [如图，设F′是双曲线的右焦点，连接PF′，

由双曲线的定义得，|PF|－|PF′|＝2a，又M为PF的中点，∴|MF|－|OM|＝a， 即|OM|＝|MF|－a. 又直线PF与圆相切， ∴|FT|＝|OF|－|OT|＝b，

2

2

3

∴|OM|－|MT|＝|MF|－a－(|MF|－|FT|)＝|FT|－a＝b－a.] 4．C [双曲线y2

2

4－x＝1的渐近线方程为y＝±2x，

因为PA，PB分别垂直于双曲线的两条渐近线， 故设方程y＝2x的倾斜角为α，则tanα＝2， 所以tan∠APB＝tan2α＝2tanα4

1－tan2

α＝－3， sin∠APB＝4

5

，

|PA|·|PB|＝|y－2x||y＋2x|

5·5

2＝

y－4x24

5

＝5

， 因此△PAB的面积S＝1

2|PA|·|PB|·sin∠APB

＝12×45×45＝8

25，故选C.] 5.23

3

解析 如图，由题意知点A(a,0)，双曲线的一条渐近线l的方程为y＝bax，

即bx－ay＝0， ∴点A到l的距离d＝aba2＋b2. 又∠MAN＝60°，|MA|＝|NA|＝b， ∴△MAN为等边三角形， ∴d＝32|MA|＝3

2

b， 即

aba2＋b2＝32b，∴a2＝3b2

， ∴e＝ca2＋b2a＝a2＝23

3

. 6．126

4

解析 由已知得a＝1，c＝3， 则F(3,0)，|AF|＝15. 设F1是双曲线的左焦点，

根据双曲线的定义有|PF|－|PF1|＝2，

所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF1|＋2≥|AF1|＋2＝17， 即点P是线段AF1与双曲线左支的交点时， |PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF1|＋2最小， 即△APF周长最小， 1

此时sin∠OAF＝，

5cos∠PAF＝1－2sin∠OAF＝46

即有sin∠PAF＝. 25

由余弦定理得|PF|＝|PA|＋|AF|－2|PA||AF|·cos∠PAF，即(17－|PA|)＝|PA|＋15－23

2|PA|×15×，

25

1146

解得|PA|＝10，于是S△APF＝|PA|·|AF|·sin∠PAF＝×10×15×＝126.

2225

2

2

2

2

2

2

2

23， 25

5