2018年四川省乐山市中考数学试题及参考答案（word解析版）

∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90°， 四边形ADBF是平行四边形， ∴BD=AF，BF=AD， ∵AC=∴

∵BD=AF， ∴

， BD，CD=

，

AE，

∵∠FAC=∠C=90°， ∴△FAE∽△ACD， ∴

=

，∠FEA=∠ADC，

∵∠ADC+∠CAD=90°，

∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EMD，∵AD∥BF， ∴∠EFB=90°，

在Rt△EFB中，tan∠FBE=∴∠FBE=30°， ∴∠APE=30°，

（3）（2）中结论成立，如图3，作EH∥CD，DH∥BE，EH，DH相交于H，连接AH， ∴∠APE=∠ADH，∠HEC=∠C=90°，四边形EBDH是平行四边形，

，

∴BE=DH，EH=BD， ∵AC=∴

BD，CD=

，

AE，

∵∠HEA=∠C=90°，

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∴△ACD∽△HEA， ∴

，∠ADC=∠HAE，

∵∠CAD+∠ADC=90°， ∴∠HAE+∠CAD=90°， ∴∠HAD=90°，

在Rt△DAH中，tan∠ADH=∴∠ADH=30°， ∴∠APE=30°．

【总结归纳】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，构造全等三角形和相似三角形的判定和性质．

26．（13分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，?=

，

43），OA=1，OB=4，直线l过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且满足tan∠OAD=． 34（1）求抛物线的解析式；

（2）动点P从点B出发，沿x轴正方形以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发，沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P运动到点A时，点Q也停止运动，设运动时间为t秒．

①在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△ADC与△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

②在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【知识考点】二次函数综合题．

【思路分析】（1）应用待定系数法求解析式

（2）①分别用t表示△ADC、△PQA各边，应用分类讨论相似三角形比例式，求t值； ②分别用t表示△APQ与△CAQ的面积之和，讨论最大值． 【解答过程】解：（1）∵OA=1，OB=4 ∴A（1，0），B（﹣4，0）

设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x﹣1） ∵点C（0，﹣∴﹣

）在抛物线上

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解得a=

∴抛物线的解析式为y=

（2）存在t，使得△ADC与△PQA相似． 理由：①在Rt△AOC中，OA=1，OC=则tan∠ACO=∵tan∠OAD=

∴∠OAD=∠ACO ∵直线l的解析式为y=∴D（0，﹣

） ）

∵点C（0，﹣∴CD=

由AC2=OC2+OA2，得AC=

在△AQP中，AP=AB﹣PB=5﹣2t，AQ=t 由∠PAQ=∠ACD，要使△ADC与△PQA相似 只需

或

则有或

解得t1=，t2=

∵t1＜2.5，t2＜2.5 ∴存在t=

或t=

，使得△ADC与△PQA相似

②存在t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大 理由：作PF⊥AQ于点F，CN⊥AQ于N 在△APF中，PF=AP?sin∠PAF=

在△AOD中，由AD2=OD2+OA2，得AD=在△ADC中，由S△ADC=

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∴CN=

∴S△AQP+S△AQC==﹣∴当t=

时，△APQ与△CAQ的面积之和最大

【总结归纳】本题为代数、几何综合题，考查待定系数法、相似三角形判定、二次函数最值，应用了分类讨论和数形结合思想．

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