高中数学 4.1.2圆的一般方程学案 新人教A版必修2

圆的一般方程

1．圆的一般方程的特征 2．与标准方程的互化

3．用待定系数法求圆的方程 4．求与圆有关的点的轨迹

例1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径.

22

（1）4x + 4y – 4x + 12y + 9 = 0 22

（2）4x + 4y – 4x + 12y + 11 = 0 解析：（1）将原方程变为 x2 + y2 – x + 3y += 0 D = –1，E =3，F =. ∵D + E – 4F = 1＞0

∴此方程表示圆，圆心（，?），半径r =. （2）将原方程化为

1232122

2

9494x2 + y2 – x + 3y +

11= 0 411. 4D = –1，E =3，F =

D2 + E2 – 4F = –1＜0 ∴此方程不表示圆.

例2 求过三点A (0，0)，B (1，1)，C (4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.

分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程. 22

解：设所求的圆的方程为：x + y + Dx + Ey + F = 0

∵A (0，0)，B (1，1)，C (4，2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D、E、F的三元一次方程组： ?F?0?即?D?E?F?2?0 ?4D?2E?F?20?0?解此方程组，可得：D= –8，E=6，F = 0 22

∴所求圆的方程为：x + y – 8x + 6y = 0

r?1D2?E2?4F?5； 2用心 爱心 专心 - 1 -

?DF?4,???3. 22得圆心坐标为(4，–3). 2222

或将x + y – 8x + 6y = 0左边配方化为圆的标准方程，(x – 4) + (y + 3) = 25，从而求出圆的半径r = 5，圆心坐标为(4，–3).

22

例3 已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆上(x + 1) + y = 4运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.

解：设点M的坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)由于点B的坐标是(4，3)且M是线段AB中重点，所以

x?x0?4y?3,y?0，① 22于是有x0 = 2x – 4，y0 = 2y – 3

2222

因为点A在圆(x + 1) + y = 4上运动，所以点A的坐标满足方程(x + 1) + y = 4，

22

即 (x0 + 1) + y0 = 4 ②

把①代入②，得 22

(2x – 4 + 1) + (2y – 3) = 4，

整理得(x?)2?(y?)2?1

所以，点M的轨迹是以(,)为圆心，半径长为1的圆.

y M B A O x

经典习题

例1 下列各方程表示什么图形？若表示圆，求出圆心和半径.

22

（1）x + y + x + 1 = 0；

222

（2）x + y + 2ac + a = 0 (a≠0)；

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（3）2x + 2y + 2ax – 2ay = 0 (a≠0). 【解析】（1）因为D ＝ 1，E ＝ 0，F ＝ 1，

22

所以D + E – 4F＜0 方程（1）不表示任何图形；

2

（2）因为D ＝ 2a，E ＝ 0，F ＝ a，

用心 爱心 专心

- 2 -

32323322所以D + E – 4F ＝ 4a – 4a = 0， 所以方程（2）表示点(–a，0)；

22

（3）两边同时除以2，得x + y + ax – ay = 0，

22

所以D = a，E = – a，F = 0. 所以D + E – 4F＞0， 所以方程（3）表示圆，圆心为(?,)，半径r?点评：也可以先将方程配方再判断.

例2 已知一圆过P (4，–2)、Q(–1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为43，求圆的方程.

【分析】涉及与圆的弦长有关的问题时，为简化运算，则利用垂径直径定理和由半弦长、弦心距、半径所构成的三角形解之.

【解析】法一：设圆的方程为： x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ① 将P、Q的坐标分别代入①得

③

令x = 0，由①，得y + Ey + F = 0 ④

2

2222

aa2212D2?E2?4F?|a|. 22?4D?2E?F??20 ?D?3E?F?10?②

由已知|y1 – y2| = 43，其中y1，y2是方程④的两根.

22

∴(y1 – y2) = (y1 + y2) – 4y1y2 = E – 4F = 48 ⑤ 解②③⑤联立成的方程组，得

?D??2?D=-10???E?0或?E=-8 ?F??12?F=4??故所求方程为：x + y – 2x – 12 = 0或x + y – 10x – 8y + 4 = 0. 法二：求得PQ的中垂线方程为x – y – 1 = 0 ①

∵所求圆的圆心C在直线①上，故设其坐标为(a，a – 1)， 又圆C的半径r?|CP|?(a?4)2?(a?1)2 ②

由已知圆C截y轴所得的线段长为43，而圆C到y轴的距离为|a|.

r2?a2?(43)2 22

2222

代入②并将两端平方，得a – 5a + 5 = 0， 解得a1 = 1，a2 = 5. ∴r1?13,r2?37 故所求的圆的方程为：(x – 1) + y = 13或(x – 5) + (y – 4) = 37.

【评析】(1)在解本题时，为简化运算，要避开直接去求圆和y轴的两个交点坐标，否则计算要复杂得多.

（2）涉及与圆的弦长有关问题，常用垂径定理和由半弦长、弦心距及半径所构成的直角三角形解之，以简化运算.

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例3 已知方程x + y – 2(t + 3)x + 2(1 – t)y + 16t + 9 = 0表示一个圆，求 （1）t的取值范围；

用心 爱心 专心

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2

2

2

2

（2）该圆半径r的取值范围.

【解析】原方程表示一个圆的条件是

D2 + E2 – 4F = 4(t + 3)2 + 4(1 – t2)2 – 4(16t 4 + 9)＞0 12

即7t – 6t – 1＜0，∴??t?1

7D2?E2?4Fr??(t?3)2?(1?t2)2?(16t4?9)??7t2?6t?12（2）4??7(t?32167)?7∴0?r2?1647,0?r?77 用心 爱心 专心 - 4 -