2018届高考新课标数学理大一轮复习检测：第十二章 概率、随机变量及其分布 12-6 含答案 精品

A组 专项基础训练

(时间：45分钟)

1．(2017·河南八校联考)在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(4，σ)(σ＞0)，若ξ在(0，4)内取值的概率为0.4，则ξ在(0，＋∞)内取值的概率为( )

A．0.2 B．0.4 C．0.8 D．0.9

【解析】 ∵ξ服从正态分布N(4，σ)(σ＞0)，∴曲线的对称轴是直线x＝4，∴ξ在(4，＋∞)内取值的概率为0.5.

∵ξ在(0，4)内取值的概率为0.4，∴ξ在(0，＋∞)内取值的概率为0.5＋0.4＝0.9. 【答案】 D

2．(2017·浙江重点中学协作体第一次适应性训练)甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在21

每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已

33打局数ξ的期望E(ξ)为( )

A.C.

241266

B. 8181274670 D. 81243

2

2

【解析】 依题意，知ξ的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束

?2??1?5

时比赛停止的概率为??＋??＝.若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各

?3??3?9

5

得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有P(ξ＝2)＝，P(ξ＝

94?216452052016266?4)＝×＝，P(ξ＝6)＝??＝，故E(ξ)＝2×＋4×＋6×＝.

99819818181?9?81

【答案】 B

3．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)＞1.75，则p的取值范围是( )

7???1?A.?0，? B.?0，? ?12??2?C.?

22

?7，1? D.?1，1?

??2??12???

【解析】 根据题意，学生一次发球成功的概率为p，即P(X＝1)＝p，发球二次的概率

P(X＝2)＝p(1－p)，发球三次的概率P(X＝3)＝(1－p)2，则E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2

5122

＝p－3p＋3，依题意有E(X)＞1.75，则p－3p＋3＞1.75，解得p＞或p＜，结合p的实

221?1?际意义，可得0＜p＜，即p∈?0，?.

2?2?

【答案】 B

??0，x≤0，

4．已知某随机变量X的概率密度函数为P(x)＝?－x则随机变量X落在区间(1，

??e，x＞0，

2)内的概率为( )

e＋12

A．e＋e B.2 ee－12

C．e－e D.2 e

【解析】 画出概率密度曲线，随机变量X落在区间(1，2)内的概率相当于直线x＝1e－1－x和x＝2以及密度曲线和直线y＝0围成的图形的面积，P＝?2edx＝2.

e?

1

【答案】 D

5．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10，0.6)，则E(η)，D(η)分别是( ) A．6，2.4 B．2，2.4 C．2，5.6 D．6，5.6

【解析】 由已知随机变量X＋η＝8，所以有η＝8－X. 因此，求得E(η)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，

D(η)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.

【答案】 B

6．(2017·浙江重点中学协作体摸底考试)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，根据统计，随机变量ξ的概率分布列如下，则ξ的数学期望为________.

ξ 0 0.1 1 0.3 2 2a 3 P a 【解析】 由概率分布列的性质得0.1＋0.3＋2a＋a＝1，解得a＝0.2，∴ξ的概率分布列为

ξ 0 0.1 1 0.3 2 0.4 3 0.2 P ∴E(ξ)＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7. 【答案】 1.7

?1?7．(2017·兰州一中模拟)若随机变量ξ～B?5，?，则D(3ξ＋2)＝________． ?3??1?∴D(ξ)＝5×1×?1－1?＝10，【解析】 ∵随机变量ξ～B?5，?，?3?9∴D(3ξ＋2)＝9D(ξ)

3??3??

＝10.

【答案】 10

8．若随机变量服从正态分布ξ～N(2，1)，且P(ξ＞3)＝0.158 7，则P(ξ＞1)＝________．

【解析】 由题意可知正态分布密度函数的图象关于直线x＝2对称，得P(ξ＜1)＝P(ξ＞3)＝0.158 7，∴P(ξ＞1)＝1－P(ξ＜1)＝1－0.158 7＝0.841 3.

【答案】 0.841 3

9．(2017·南昌模拟)某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X服从正态分布N(80，σ)(满分为100分)，已知P(X＜75)＝0.3，P(X≥95)＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取3位同学．

(1)求抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间内各有1位同学的概率；

(2)记抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间内的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)．

1

【解析】 (1)由题知，P(80≤X＜85)＝－P(X＜75)＝0.2，

2

2

P(85≤X＜95)＝0.3－0.1＝0.2，

所以所求概率P＝A3×0.2×0.2×0.1＝0.024. (2)P(75≤X≤85)＝1－2P(X＜75)＝0.4， 所以ξ服从二项分布B(3，0.4)，

3

P(ξ＝0)＝0.63＝0.216，P(ξ＝1)＝3×0.4×0.62＝0.432， P(ξ＝2)＝3×0.42×0.6＝0.288，P(ξ＝3)＝0.43＝0.064，

所以随机变量ξ的分布列是

ξ 0 0.216 1 0.432 2 0.288 3 0.064 P E(ξ)＝3×0.4＝1.2. 10．(2017·洛阳模拟)某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有1，2，3三个问题，每位参赛者按问题1，2，3的顺序做答，竞赛规则如下：

①每位参赛者计分器的初始分均为10分，答对问题1，2，3分别加1分，2分，3分，答错任一题减2分；

②每回答一题，积分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于12分时，答题结束，进入下一轮；当答完三题，累计分数仍不足12

分时，答题结束，淘汰出局．

311

已知甲同学回答1，2，3三个问题正确的概率依次为，，，且各题回答正确与否相

423互之间没有影响．

(1)求甲同学能进入下一轮的概率；

(2)用X表示甲同学本轮答题结束时的累计分数，求X的分布列和数学期望． 【解析】 (1)设事件A表示“甲同学问题1回答正确”，事件B表示“甲同学问题2回311答正确”，事件C表示“甲同学问题3回答正确”，依题意P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝. 423

记“甲同学能进入下一轮”为事件D，则

∴X的分布列为

X P 6 1 818

14

7 1 4112

8 1 1218

12 1 8512

13 5 12121. 12

X的数学期望E(X)＝6×＋7×＋8×＋12×＋13×＝

B组 专项能力提升