2019-2020学年湖南省娄底市高三（上）期末数学试卷（理科）

（1）求曲线?长度； （2）当???2时，求点C1到平面APB的距离；

（3）是否存在?，使得二面角D?AB?P的大小为不存在，请说明理由．

?？若存在，求出线段BP的长度；若4

【解答】解：（1）将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边BA，曲线?就是对角线BD．

由于AB??r??，AD??，所以这实际上是一个正方形． 所以曲线?的长度为BD?2?． （2）当???2时，点B1恰好为AB的中点，所以P为B1C1中点，

故点C1到平面APB的距离与点B1到平面APB的距离相等． 连接AP、BP，OP．

由AB?B1P且AB?A1B1知：AB?平面APB，从而平面A1B1P?平面APB． 作B1H?OP于H，则B1H?平面APB，所以B1H即为点B1到平面APB的距离． ·??， 在Rt△OB1P中，OB1?1,B1P?BB12所以OP?1?()?22?2?2?42．

于是：B1H?OB1?B1P?OP1???2?．

22??4??42所以，点C1到平面APB的距离为???42．

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（3）由于二面角D?AB?B1为直二面角，故只要考查二面角P?AB?B1是否为过B1作B1Q?AB于Q，连接PQ．

由于B1Q?AB，B1P?AB，所以AB?平面B1PQ，所以AB?PQ． 于是?PQB1即为二面角P?AB?B1的平面角． ·??． 在Rt△PB1Q中，B1Q?sin?,B1P?BB1?即可． 4若?PQB1??4，则需B1P?B1Q，即sin???．

令f(x)?sinx?x(0?x??)，则f?(x)?cosx?1?0， 故f(x)在(0,?)单调递减．

所以f(x)?f(0)?0，即sinx?x在(0,?)上恒成立． 故不存在??(0,?)，使sin???．

也就是说，不存在??(0,?)，使二面角D?AB?B1为

?． 4

22?an18．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1?1，an?0，Sn?1??Sn?1，其中?为常

数．

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（1）证明：Sn?1?2Sn??；

（2）是否存在实数?，使得数列{an}为等比数列，若存在，求出?；若不存在，说明理由．

2?an?12??Sn?1， 【解答】（1）证明：Qan?1?Sn?1?Sn，Sn2?(Sn?1?Sn)2??Sn?1， ?Sn?Sn?1(Sn?1?2Sn??)?0， ?an?0，?Sn?1?0， ?Sn?1?2Sn???0； ?Sn?1?2Sn??

（2）解：QSn?1?2Sn??，Sn?2Sn?1??(n…2)， 相减得：an?1?2an(n…2)，?{an}从第二项起成等比数列， QS2?2S1??即a2?a1?2a1??， ?a2?1???0得???1，

?1,n?1?an??， n?22?(??1)2,n…若使{an}是等比数列

2则a1a3?a2，?2(??1)?(??1)2，

???1经检验得符合题意．

19．（12分）如图，过抛物线y2?2px(p?0)上一点P(1,2)，作两条直线分别交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时：

（1）求y1?y2的值；

（2）若直线AB在y轴上的截距b?(?1，3]时，求?ABP面积S?ABP的最大值．

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【解答】解：（1）Q点P(1,2)在抛物线上，?22?2p，解得p?2． 设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB． 则ky1?2PA?x(x?1)，ky2?21PB?x(x2?1)， 1?12?1QPA与PB的斜率存在且倾斜角互补，?kPA??kPB．

由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得

y2?4x211，①y2?4x2②

?y1?2??(y2?2)，?y1?y2??4．

（2）由①?②得直线AB的斜率为kAB??1．

因此设直线AB的方程为y??x?b，由直线与抛物线方程联立，x2?(2b?4)x?b2?0，

由△?0，得b??1，这时x1?x2?2b?4，x21x2?b， |AB|?42b?1，又点P到直线AB的距离为d?|3?b|2，

所以S?ABP?2(b?1)(3?b)2， 令f(x)?(x?1)(3?x)2(x?[?1,3])， 则由f?(x)?(3x?1)(x?3)?0，得x?13或x?3， 当x?(?1,13)时，f?(x)?0，所以f(x)单调递增，

当x?(13，3)时，f?(x)?0，所以f(x)单调递减，

故f(x)的最大值为

25627，故?ABP面积S323?ABP的最大值为9．

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