2020年高考理科数学新课标第一轮总复习练习：9-6离散型随机变量及其分布列含解析

课时规范练

(授课提示：对应学生用书第329页)

A组 基础对点练

1．某中学根据2005～2017年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”“棋类”“国学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2017年某新生入学，假设他通过考1

核选拔进入该校的“摄影”“棋类”“国学”三个社团的概率依次为m，3，n，已知三个社团他都能13

进入的概率为24，至少进入一个社团的概率为4，且m>n. (1)求m与n的值；

(2)该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数的分布列及期望． 解析：(1)依题意得， 11mn＝??324，?1?3?

1－??1－?1－m??1－n?＝??3?4，?

1

??m＝2，1n＝??4.

解得?

(2)设该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为随机变量X，则X的值可以为0,1,2,3,4,5,6. 1231而P(X＝0)＝2×3×4＝4； 1231

P(X＝1)＝2×3×4＝4； 1131

P(X＝2)＝2×3×4＝8；

1211135

P(X＝3)＝2×3×4＋2×3×4＝24； 1211

P(X＝4)＝2×3×4＝12；

1111

P(X＝5)＝2×3×4＝24； 1111

P(X＝6)＝2×3×4＝24. X的分布列为：

X P 0 14 1 14 2 18 3 524

4 112 5 124 6 124 111511123于是，E(X)＝0×4＋1×4＋2×8＋3×24＋4×12＋5×24＋6×24＝12.

2．盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球． (1)求取出的3个球中至少有1个红色球的概率； (2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；

(3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列．

3C77

解析：(1)P＝1－C3＝12.

9

(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，则P(B

221C152C3C2C4＋C)＝P(B)＋P(C)＝3＋3＝.

C9C942

(3)ξ可能的取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布，所以

3－k

Ck3C6

P(ξ＝k)＝C3，k＝0,1,2,3.

9

32C65C13C615

故P(ξ＝0)＝C3＝21，P(ξ＝1)＝C3＝28，

9921C3C63C313

P(ξ＝2)＝C3＝14，P(ξ＝3)＝C3＝84. 99

所以ξ的分布列为：

ξ P 0 521 1 1528 2 314 3 184 B组 能力提升练 1．某校举行校庆活动，各届校友纷至沓来，某班共来了n位校友(n>8，且n∈N*)，其中女校友6位，组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．

1

(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于2，求n的最大值； (2)当n＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为X，求随机变量X的分布列．

11Cn12?n－6?12?n－6?1－6C6

解析：(1)由题意可知，所选2人为“最佳组合”的概率为C2＝，则≥.

n?n－1?n?n－1?2n

化简得n2－25n＋144≤0，解得9≤n≤16，故n的最大值为16. (2)由题意可得，X的可能取值为0,1,2.

21

C65C16C256C66则P(X＝0)＝C2＝22，P(X＝1)＝C2＝11，P(X＝2)＝C2＝22. 121212

所以X的分布列为：

X P 0 522 1 611 2 522 2.某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动(一人答一份)，现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了n份，统计结果如下面的图表及图所示.

组号 1 2 3 4 年龄分组 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 答对全卷 的人数 28 27 5 a 答对全卷的人数 占本组的频率 b 0.9 0.5 0.4

(1)分别求出a，b，c，n的值；

(2)从第3,4组答对全卷的人中用分层抽样的方法抽取6人，在所抽取的6人中随机抽取2人授予“环保之星”，记X为第3组被授予“环保之星”的人数，求X的分布列与数学期望． 解析：(1)根据频率分布直方图，得(0.010＋0.025＋c＋0.035)×10＝1， 解得c＝0.03.

第3组人数为5÷0.5＝10，所以n＝10÷0.1＝100，第1组人数为100×0.35＝35，所以b＝28÷35＝0.8，第4组人数为100×0.25＝25，所以a＝25×0.4＝10. (2)因为第3,4组答对全卷的人数的比为5∶10＝1∶2，

所以6人中第3组2人，第4组4人，依题意X的取值为0,1,2.

02C2C42

P(X＝0)＝C2＝5，

611C2C48

P(X＝1)＝C2＝15，

620C2C41

P(X＝2)＝C2＝15.

6

所以X的分布列为：

X P 2812

所以E(X)＝0×5＋1×15＋2×15＝3.

0 25 1 815 2 115